高二数学-椭圆的定义及其标准方程

学生姓名:         授课教师:           授课时间：   12.21          

第一部分：基础知识梳理

 知识点一  椭圆的定义

   平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于)的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满足集合,,且都为常数。

当即时，集合P为椭圆.

当即时，集合P为线段。

当即时，集合P为空集。

知识点二  椭圆的标准方程

   （1)，焦点在轴上时，焦点为,焦点。

   （2）,焦点在轴上时，焦点为,焦点。

知识点三  椭圆方程的一般式

   这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出,但在应用中有时比较方便,在此提供出来，作为参考：

(其中为同号且不为零的常数,），它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。

当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。

    一般式，通常也设为，应特别注意均大于0,标准方程为。

知识点四  椭圆标准方程的求法

  1. 定义法

    椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一，当问题是以实际问题给出时,一定要注意使实际问题有意义,因此要恰当地表示椭圆的范围.

例1、 在△ABC中,A、B、C所对三边分别为,且B（—1，0）C（1,0)，求满足，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。

变式练习 1.在△ABC中,点B（-6，0）、C（0，8)，且成等差数列。

          （1)求证:顶点A在一个椭圆上运动.

          （2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。

2。 待定系数法

首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满足的等式,求得的值,再代入所设方程,即一定性，二定量,最后写方程.

例2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点P（3，0），=3b，求椭圆的标准方程。

例3、 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴,且经过两点，求椭圆方程。

变式练习 2.求适合下列条件的椭圆的方程；

（1）两个焦点分别是（—3，0），（3,0)且经过点(5,0）。

（2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点,焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12。

3.已知椭圆经过点和点,求椭圆的标准方程.

4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程。

知识点五  共焦点的椭圆方程的求解

    一般地,与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为。

例4、 过点(-3,2）且与有相同焦点的椭圆的方程为(    ）

A.        B。       C。       D。   

变式练习 5。求经过点（2,—3）且椭圆有共同焦点的椭圆方程.

知识点六  与椭圆有关的轨迹问题的求解方法

   与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。迹，其基本思路是设出轨迹上一点和已知曲线上一点，建立其关系,再代入。

例5、已知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，点在上，并且,求点的轨迹。

知识点七  与弦的中点有关问题的求解方法

   直线与椭圆相交于两点、，称线段为椭圆的相交弦.与这个弦中点有点的轨迹问题是一类综合性很强的题目,因此解此类问题必须选择一个合理的方法，如“设而不求”法，其主要特点是巧代线段的斜率。其方程具体是:设直线与椭圆相交于两点，坐标分别为、，线段的中点为，则有

①式—②式，得，即

    ∴

  通常将此方程用于求弦中点的轨迹方程。

例6.已知:椭圆，求：

       (1）以P（2，—1）为中点的弦所在直线的方程;

       (2）斜率为2的相交弦中点的轨迹方程;

       （3）过Q（8,2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。

第二部分:巩固练习

  1。 设为椭圆的焦点，P为椭圆上一点，则的周长是(   ）

      A.   16      B。    8      C。       D.    无法确定 

  2。 椭圆的两个焦点之间的距离为（    ）

      A。   12       B.   4      C。    3       D。    2   

  3. 椭圆的一个焦点是（0,2），那么等于（    ）

       A。   —1     B。  1     C。        D.    - 

  4。 已知椭圆的焦点是，P是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得,那么动点的轨迹是（    ）

       A。    圆    B。   椭圆     C.  双曲线的一支     D。   抛物线 

   5. 已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是__________.

   6. 椭圆的焦点坐标是___________. 

   7。 椭圆的焦距为2，则正数的值____________。