黑龙江省哈三中等四校2011届第一次高考模拟考试数学理

哈三中

2011届第一次高考模拟考试

数学（理）试题

参考公式：球的表面积：        球的体积： 

    回归方程：， 

第卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1． 复数的虚部为            （    ）

    A．                 B．       C．           D．

2． 的值为                （    ）

    A．              B．          C．            D．

3． 已知等差数列满足，，，则的值为（    ）

    A．         B．      C．               D． 

4． 在中，为边上的中线，，则    （    ）

    A．          B．        C．           D． 

5． 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（    ）

    A．                     B． 

    C．                     D． 

6． 已知命题：有的三角形是等边三角形，则（    ）

    A．：有的三角形不是等边三角形

    B．：有的三角形是不等边三角形

    C．：所有的三角形都是等边三角形

    D．：所有的三角形都不是等边三角形

7． 读右面的程序框图，若输入，

则输出的值分别为（    ）

    A． 

    B． 

    C． 

    D． 

8． 函数的零点的个数是（    ）

    A．                B． 

    C．                D． 

9． 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的

所有不同走法共有          （    ）

    A．种         B．种         

    C．种         D．种

10．设不等式组表示的平面区域为，不等式（，为常数）表示的平面区域为，为平面上任意一点，：点在区域内，：点在区域内，若是的充分不必要条件，则的取值范围是    （    ）

    A．         B．      

    C．          D． 

11．已知二面角的平面角为，点在二面角内，，，为垂足，且设到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹方程是                （    ）

    A．                B． 

    C．                D． 

12． 已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于、两点，、分别为、在上的射影，为的中点，给出下列命题：

    ①；②；③∥；④与的交点在轴上；

    ⑤与交于原点．其中真命题的个数为        （    ）

    A．个         B．个         C．个         D．个

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．）

13．某市有三类医院，甲类医院有病人，乙类医院有病人，丙类医院有病人，为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为人．

14．已知三棱锥，，平面，其中，四点均在球的表面上，则球的

表面积为．

15．已知集合表示的区域为，集合表示的区域为，向区域内随机抛掷一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．

16．若，则定义为曲线的线．已知，，则的线为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）已知函数．

    (Ⅰ) 求函数的单调递增区间；

(Ⅱ) 已知中，角所对的边长分别为，若，，求的面积．

18．（本小题满分12分）已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，

为中点．

    (Ⅰ) 求证：直线平面；

    （Ⅱ）求平面和平面所成的锐二

面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村到年十年间每年考入大学的人数.为方便计算，年编号为，年编号为，…，年编号为.数据如下:

    （Ⅰ）从这年中随机抽取两年，求考入大学人数至少有年多于人的概率；

    （Ⅱ）根据前年的数据，利用最小二乘法求出关于的回归方程，并计算第年的估计值和实际值之间的差的绝对值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆：，分别为左，右焦点，离心率为，点在椭圆上，， ，过与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）在线段上是否存在点,使得以线段为邻边的四边形是菱形？若存在,求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

21.（本小题满分12分）已知函数（，），．（Ⅰ）证明：当时，对于任意不相等的两个正实数、，均有成立；

    （Ⅱ）记，（ⅰ）若在上单调递增，求实数的取值范围；（ⅱ）证明：.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．

    （Ⅰ）求证：直线是⊙的切线；

    （Ⅱ）若⊙的半径为，求的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点，是圆锥曲线的左，右焦点．

    （Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程；

    （Ⅱ）在（I）的条件下，设直线与圆锥曲线交于两点，求弦的长．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．

    （Ⅰ）求不等式的解集；

    （Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．