北师大版九年级上册数学1章《矩形的性质与判定》教案

第1课时　矩形的性质

【学习目标】

1．了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．

2．经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．

3．培养严谨的推理能力以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．

【学习重点】

掌握矩形的性质，并学会应用．

【学习难点】

理解矩形的特殊性质．

一、情景导入　生成问题

1．菱形的定义是什么？

答：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直．

二、自学互研　生成能力

先阅读教材P11－12页的内容，然后完成下列的问题。

1．矩形的定义是什么？

答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

2．矩形具有一般平行四边形的所有性质吗？

答：因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有一般平行四边形的所有性质．

1．拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？(演示拉动过程如图)

2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形．

归纳结论：矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

3．学生观察教师的教具，研究其变化情况后，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质．

思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？

归纳结论：矩形性质1：矩形的四个角都是直角；矩形性质2：矩形的对角线相等．

4．矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

答：矩形是轴对称图形，有两条对称轴．

5．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，探究AO与BD的数量关系．

归纳结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

解答下列各题：

1．平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是(　B　)

A．对角线相等　　　　　　　　B．对角线互相平行

C．对角线平分一组对角               D．对角线互相垂直

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是(　C　) 

A．20　　　　B．10　　　　C．5　　　　D.

典例讲解：

已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4cm，求矩形对角线的长．

解：∵四边形ABCD是矩形．∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB.又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形．∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝2×4＝8cm.

对应练习：

已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE＝BC.求证：CE＝EF. 

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，且AD∥BC.∴∠1＝∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.∴∠B＝∠AFD.又AD＝AE，∴△ABE≌△DFA(AAS)．∴AF＝BE.∴EF＝EC.

三、交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　探索矩形的性质

知识模块二　矩形性质的应用

四、检测反馈　达成目标

见《名师测控》学生用书．

五、课后反思　查漏补缺

1．收获：__________________________________________________

2．存在困惑：_____________________________________________

第2课时　矩形的判定

【学习目标】

1．会证明矩形的判定定理．

2．能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明．

3．能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．

【学习重点】

理解并掌握矩形的判定方法及证明，掌握判定的应用．

【学习难点】

定理的证明方法及运用．

一、情景导入　生成问题

1．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．

2．菱形的判定方法有哪些？

答：定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

判定定理：(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2)四边相等的四边形是菱形．

二、自学互研　生成能力

先阅读教材P14“做一做”，完成下面的问题：

1．运用矩形的定义进行矩形的判定，应具备几个条件？

答：2个条件：(1)该四边形是平行四边形；(2)该平行四边形有一个角是直角．

2．“做一做”中随着∠α的变化，两条对角线的长度会发生怎样的变化？

答：随着∠α的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长．

1．动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点．

思考：(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？

(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？

归纳结论：对角线相等的平行四边形是矩形．

已知：如图，在▱ABCD中，AC、DB是它的两条对角线，AC＝DB.求证：▱ABCD是矩形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC.又∵BC＝CB，AC＝DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC＝∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠ABC＝∠DCB＝×180°＝90°.∴▱ABCD是矩形(矩形的定义)．

2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．

归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．

解答下列各题：

1．对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．

2．下列说法错误的是(　C　)

A．有一组对角互补的平行四边形一定是矩形

B．两条对角线相等的平行四边形一定是矩形

C．对角线互相平分的四边形一定是矩形

D．有三个角是直角的四边形一定是矩形

典例讲解：

已知：如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，∴∠EAB＋∠ABG＝×180°＝90°.∴∠AFB＝90°，∴∠EFG＝∠AFB＝90°.同理可证∠AED＝∠BGC＝∠EFG＝90°.∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．

对应练习：

如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求▱ABCD的面积．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD.∵AO＝BO，∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．在Rt△ABC中，AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm，∴BC＝＝4(cm)．∴S▱ABCD＝AB·BC＝4×4＝16(cm2)．

三、交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　探索矩形的判定方法

知识模块二　矩形判定定理的应用

四、检测反馈　达成目标

见《名师测控》学生用书．

五、课后反思　查漏补缺

1．收获：_____________________________________________

2．存在困惑：_________________________________________