初三圆知识点讲解

圆周角、圆心角与所对弧的关系、与圆有关的位置关系

一、圆的一些定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

      （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

      （3）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，

            等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

思考：怎么去证明弦切角定理呢？

相交弦定理：相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点

分成的两条线段长的积相等

思考：相交弦定理怎么去证明呢？

※切线长定理、切割线定理

2、与圆有关的角

（1）顶点在圆心的角叫做圆心角，它的度数等于它所对弧的度数。

（2）顶点在圆周上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，其性质有：

     ①一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；

     ②同弧或等弧所对的圆周角相等，在同一个圆中，相等的圆周角对应的弧是相等的。

     ③直径所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径。

3、圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。

四、补充：圆的内接四边形所满足的条件：对角和为180°。

思考：这个结论该如何去证明呢？

五、与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

2、直线与圆的位置关系

3、圆与圆的位置关系

4、切线的性质与判断

5、三角形的内心、外心的含义（回忆三角形的五心）

六、直击苏州中考

16.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．

【考点】切线的性质；圆周角定理；扇形面积的计算．

【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，

进而可求出图中阴影部分的面积．

26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．

（1）证明：∠E=∠C；

（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；

（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，进而利用线段

        垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；

        利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出

        ∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；

（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．

七、垂径定理的应用

1.某种仪器上的一块圆形玻璃被打碎了，它的残片如图所示。你能帮助配一块大小完全相同的玻璃吗？如能，请说出方法并画出它的大小。

(分析：这题主要运用垂径定理的性质，只要找到一条弦然后就能确定

圆心的位置，从而就能将圆补全了。)

2、如图，在⊙O中，弦AB//EF，连结OE，OF交AB于C，D， 

　　求证：AC=DB。 

（分析：只要过圆心O作弦AB、EF的垂线，然后利用等腰三角形

三线合一的性质就可以证明出来了。）

8、弦切角的运用

1、如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B=60°，则∠CAD等于（　　）

A、30°                 B、60°

C、90°                 D、120°

（分析：这是一道比较老的中考题，直接运用弦切角定理就可以得出结果）

2、（2002•佛山）如图，直线AB切⊙O于点A，割线BDC交⊙O于点D、C．若∠C=30°，∠B=20°，则∠ADC=（　　）

    A、70°             B、50°

    C、30°           D、20°

3、如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB=1：2:3，⊙O是△ABD的外接圆。

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数。

A

A

C

D

B

B

D

C

O

O

九、圆的内接四边形的应用

1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC．AT是⊙O的切线，∠BAT=55°，则∠D等于（　　）

    A、110°                        B、115°

    C、120°                       D、125°

D

2、如图：⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于=          。

A

O

C

B

3、如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B＋∠E=          。

A

O

E

B

D

C