黑龙江省哈尔滨三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

黑龙江省哈尔滨三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列结论正确的有(     )

①集合A={1，2}，集合B={x|x是4的因数}，A与B是同一个集合；

②集合{y|y=2x2﹣3}与集合{（x，y）|y=2x2﹣3}是同一个集合；

③由1，，，|﹣|，0.5这些数组成的集合有5个元素；

④集合{（x，y）|xy≤0，x、y∈R}是指第二和第四象限内的点集．

    A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

考点：命题的真假判断与应用． 

专题：集合．

分析：①整数的因数是指能被整除的整数，②两集合相等是指两集合中元素完全相同，③集合中元素必需满足互异性，④当x=0，或y=0时也适合不等式xy≤0．

解答：    解：①B={x|x是4的因数}={﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4}，所以A≠B，所以①错误；

②集合{y|y=2x2﹣3}={y|y≥﹣3}是数集，{（x，y）|y=2x2﹣3}表示曲线y=2x2﹣3上的点，是一个点集，所以两个集合不是同一个集合，所以②错误；

③∵=，|﹣|=0.5，∴由1，，，|﹣|，0.5这些数组成的集合有3个元素，所以③错误；

④当x=0或y=0也满足xy≤0，所以集合{（x，y）|xy≤0，x、y∈R}是指第二和第四象限内或坐标轴上的点集．所以④错误．

故选择：A．

点评：本题考查了，集合的有关性质，如集合中元素的互异性，集合的代表元，集合相等，这些都是集合中常考的知识点．属于基础题．

2．函数的定义域是(     )

    A．    B．（﹣3，3）    C．（﹣3，2）∪（2，3）    D．

考点：函数的定义域及其求法． 

专题：计算题．

分析：求出使原函数中根数内部的代数式大于等于0的x的集合，再求出使分母不等于0的x的取值集合，然后取交集．

解答：    解：要使原函数有意义，则，解得：﹣3≤x≤3且x≠2．

所以原函数的定义域为．

故选D．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，求函数的定义域时，开偶次方根要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间，此题是基础题．

3．函数y=的值域是(     )

    A．    C．

分析：题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，

解答：    解：，

∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称

故选D．

点评：考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．

5．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是(     )

    A．①②    B．②③    C．③④    D．①④

考点：函数单调性的判断与证明． 

专题：函数的性质及应用．

分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．

解答：    解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；

②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；

③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；

④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．

故选B．

点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．

6．设全集U=R，集合E={x|x≤﹣3或x≥2}，F={x|﹣1＜x＜5}，则集合{x|﹣1＜x＜2}等于(     )

    A．E∩F    B．∁UE∩F    C．∁UE∪∁UF    D．∁U（E∪F）

考点：交、并、补集的混合运算． 

专题：计算题．

分析：对选支逐一计算看哪个符合结论的

解答：    解：选项A   易知E∩F={x|2≤x＜5}不合题意

选项B   CUE={x|﹣3＜x＜2}，CUE∩F={x|﹣1＜x＜2}符合题意

选项C   CUE={x|﹣3＜x＜2}，CUF={x|x≤﹣1或x≥5}，则CUE∪CUF={x|﹣3＜x≤﹣1}不合题意

选项D   E∪F={x|x≤﹣3或x＞﹣1}，CU（E∪F）={x|﹣3＜x≤﹣1}不合题意，

故选B．

点评：本题考查了交集、并集、补集的混合运算，解题需注意端点能否取到．

7．设，则a，b，c的大小关系是(     )

    A．a＞c＞b    B．a＞b＞c    C．c＞a＞b    D．b＞c＞a

考点：幂函数图象及其与指数的关系． 

分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．

解答：    解：∵在x＞0时是增函数

∴a＞c

又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b

故答案选A

点评：本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．

8．函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是(     )

    A．    B．    C．    D．

考点：函数的图象． 

专题：函数的性质及应用．

分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．

解答：    解：函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移个单位得到的．

当a＞1时，函数y=ax﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．

当1＞a＞0时，函数y=ax﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，

故选D．

点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

9．已知函数f（x）=，则f（1+log23）的值为(     )

    A．6    B．12    C．24    D．36

考点：分段函数的应用． 

专题：函数的性质及应用．

分析：根据分段函数的表达式，代入即可得到结论．

解答：    解：∵2＜1+log23＜3，

∴4＜2+1+log23＜5，即4＜log224＜5，

∵当x＜4时，f（x）=f（x+2），

∴f（1+log23）=f（2+1+log23）=f（log224）=，

故选：C

点评：本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性是解决本题的关键．

10．函数f（x）=的零点个数为(     )

    A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

考点：根的存在性及根的个数判断． 

专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．

分析：分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图．

解答：    解：①x≤0时，

f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=0，

解得，x=﹣1或x=3（舍去）．

②x＞0时，

由y=lnx与y=x2﹣2x的图象可知，

其有（0，+∞）上有两个交点，

故有两个解；

则函数f（x）=的零点个数为3．

故选C．

点评：本题考查了分段函数的零点个数，属于中档题．

11．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于(     )

    A．1    B．e+l    C．3    D．e+3

考点：函数单调性的性质． 

专题：函数的性质及应用．

分析：利用换元法 将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．

解答：    解：设t=f（x）﹣ex，

则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，

令x=t，则f（t）=et+t=e+1，

∵函数f（x）为单调递增函数，

∴函数为一对一函数，解得t=1，

∴f（x）=ex+1，

即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，

故选：C．

点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．

12．已知关于x的不等式0≤x2﹣2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解，函数f（x）=tx，g（x）=2tx2﹣2（m﹣t）x+1，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数t的取值范围是(     )

    A．（﹣∞，0）    B．（0，2）    C．（2，8）    D．（0，8）

考点：函数的零点与方程根的关系． 

专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．

分析：由关于x的不等式0≤x2﹣2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解求出m的值，代入函数化简；当t≤0时，显然不成立；当t＞0时，因为g（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．

解答：    解：∵y=x2﹣2x+m≥m﹣1，

又∵关于x的不等式0≤x2﹣2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解，

∴m﹣1=3，

∴m=4，

则g（x）=2tx2﹣2（4﹣t）x+1．

当t≤0时，

当x接近+∞时，函数g（x）=2tx2﹣2（4﹣t）x+1与f（x）=tx均为负值，

显然不成立，

当t=0时，因g（x）=﹣8x+1，f（x）=0，故不成立；

当t＞0时，

若﹣=≥0，即0＜t≤4时，结论显然成立；

若﹣=＜0时，只要△=4（4﹣t）2﹣8t=4（t﹣8）（t﹣2）＜0即可，即4＜t＜8，

故0＜t＜8．

故选D．

点评：本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）

13．f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么当x＜0时，f（x）=x2+4x．

考点：函数解析式的求解及常用方法． 

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：利用偶函数的定义求函数解析式．

解答：    解：当x＜0时，﹣x＞0，

∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，

∴f（x）=f（﹣x）=x2+4x；

故答案为：x2+4x．

点评：本题考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．

14．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围（﹣∞，3）．

考点：函数单调性的性质． 

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：由f（2）=0，知f（x﹣1）＞0化为f（x﹣1）＞f（2），再利用函数的单调性可可得x﹣1＜2．

解答：    解：∵f（2）=0，∴f（x﹣1）＞0化为f（x﹣1）＞f（2），

又f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，

∴x﹣1＜2，解得x＜3，

∴x的取值范围是（﹣∞，3），

故答案为：（﹣∞，3）．

点评：该题考查函数的单调性及其应用，属基础题，正确利用函数的单调性去掉不等式中的符号“f”是解题关键．

15．若偶函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），且当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则f（）=﹣1．

考点：抽象函数及其应用；函数的值． 

专题：函数的性质及应用．

分析：先判断函数为周期函数，利用周期性和偶函数得到f（）=f（），再有条件即可求出值．

解答：    解：∵偶函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），

∴f（x）=f（x﹣2），

∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，

∴f（）=f（8﹣）=f（），

∵x∈（0，1]时，f（x）=log2x，

∴f（）=log2=﹣1

故答案为：﹣1

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数值的计算，属于中档题．

16．已知f（x）为奇函数，当x∈时，f（x）=﹣x2+2x；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x﹣4，若关于x的不等式f（x+a）＞f（x）有解，则a的取值范围为（﹣2，0）∪（0，+∞）．

考点：函数单调性的性质． 

专题：综合题；函数的性质及应用．

分析：根据题意画出函数f（x）的图象，根据图象及函数f（x）的单调性，f（x+a），和f（x）的取值即可找出a的范围．

解答：    解：由题意作出函数f（x）的图象，如图所示：若a＞0，则x≥2时，x+a＞2，x+a＞x；

f（x）在为增函数，所以f（x+a）＜f（x），即不等式f（x+a）＞f（x）无解；

综上得a的取值范围是（﹣2，0∪（0，+∞）．

故答案为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．

点评：考查奇函数的概念，二次函数图象，奇函数图象关于原点的对称性，以及函数单调性的定义．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．全集U={x|x2﹣x+1≥0}，A={x||x﹣1|＞1}，B={x|≥0}．求集合A∩B，A∪（∁UB）．

考点：交、并、补集的混合运算． 

专题：集合．

分析：求出全集U中不等式的解集确定出U，求出A与B中不等式的解集确定出A与B，进而求出A与B的交集，A与B补集的并集即可．

解答：    解：由全集U中不等式解得：x≤或x≥2，即全集U=（﹣∞，]∪

∴A=（﹣∞，0）∪（2，+∞），

由B中不等式解得：x＞2或x≤﹣1，即B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），

∴∁UB=（﹣1，2]，

则A∩B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），A∪（∁UB）=R．

点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

18．已知函数f（x）=lg（a≠1）是奇函数，

（1）求a的值；

（2）若g（x）=f（x）+，x∈（﹣1，1），求g（）+g（﹣）的值．

考点：函数奇偶性的性质；函数的值． 

专题：综合题；函数的性质及应用．

分析：先根据奇函数的定义得到a的值，再结合定义域关于原点对称即可确定实常数a的值．

解答：    解：（1）因为函数f（x）=lg是奇函数；

所以：f（﹣x）+f（x）=0⇒lg+lg=0⇒lg=0⇒=1．

∴a=±1，又a≠1，

∴a=﹣1．

（2）∵g（x）=f（x）+，且f（x）为奇函数，

∴g（）+g（﹣）=f（）+f（﹣）++

=2（﹣1）+

=2．

点评：本题主要考查函数奇偶性的性质．一个函数存在奇偶性的前提是定义域关于原点对称．

19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，x∈，且函数f（x）在x=﹣1处取到最大值0．

（1）求的取值范围；

（2）求的最小值．

考点：函数的最值及其几何意义． 

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：（1）因为函数函数f（x）在x=﹣1处取到最大值0，则f（﹣1）=a﹣b+c=0，可得b=a+c且﹣≤﹣，即可求的取值范围；

（2）==+，利用函数的单调性求的最小值．

解答：    解：（1）因为函数函数f（x）在x=﹣1处取到最大值0，

则f（﹣1）=a﹣b+c=0，可得b=a+c且﹣≤﹣，

∴﹣≤﹣，解得≥2；

（2）==+，

因为≥2，所以≥，

所以的最小值．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．

20．已知函数f（x）=m•6x﹣4x，m∈R．

（1）当m=时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；

（2）若f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．

考点：其他不等式的解法；函数恒成立问题． 

专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）即可化简得，（）x＜，由单调性即可得到；

（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即m≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，运用基本不等式即可得到最小值，令m不大于最小值即可．

解答：    解：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）

即为•6x+1﹣4x+1＞6x﹣4x，

化简得，（）x＜，

解得x＞2．

则满足条件的x的范围是（2，+∞）；

（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即为m•6x﹣4x≤9x，

即m≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，

由于（）﹣x+（）x≥2，当且仅当x=0取最小值2．

则m≤2．

故实数m的范围是（﹣∞，2]．

点评：本题考查指数不等式的解法，以及指数函数的单调性及运用，考查不等式的恒成立问题，运用分离参数的方法和基本不等式求最值，属于中档题．

21．已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）﹣，当x＞4时，f（x）＞，且f（）=0．

（1）求f（2）的值；

（2）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．

考点：数列的求和． 

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）由已知得f（1）=f（1）+f（1）﹣，解得f（1）=，从而f（2×）=f（2）+f（）﹣，由此能求出f（2）=1．

（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（）﹣=f（）﹣=，由此能求出关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2的解．

解答：    解：（1）∵定义在（0，+∞）上函数f（x），

对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）﹣，

∴f（1）=f（1）+f（1）﹣，

∴f（1）=，

∴f（2×）=f（2）+f（）﹣，

∵f（）=0，∴f（2）=1．

（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则f（x2）﹣f（x1）=f（）﹣=f（）﹣=，

∵f（）=f（）+f（）﹣，且时，f（x）＞，

∴，

∴，解得x∈（1，+∞）．

点评：本题考查函数值的求法，考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

22．设x=m和x=n是函数的两个极值点，其中m＜n，a∈R．

（Ⅰ） 求f（m）+f（n）的取值范围；

（Ⅱ） 若，求f（n）﹣f（m）的最大值．

注：e是自然对数的底数．

考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用． 

专题：综合题；导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用极值的运用，建立方程，结合韦达定理，即可求f（m）+f（n）的取值范围；

（Ⅱ）设，确定t的范围，表示出f（n）﹣f（m），构造新函数，利用导数法确定函数的单调性，即可求得结论．

解答：    解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．

依题意，方程x2﹣（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．

故，∴a＞0，

并且m+n=a+2，mn=1．

所以，

=

故f（m）+f（n）的取值范围是（﹣∞，﹣3）．   …

（Ⅱ）当时，．

若设，则．

于是有，∴，∴t≥e

∴

构造函数（其中t≥e），则．

所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，．

故f（n）﹣f（m）的最大值是．        …

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．