2021年吉林春市中考数学一模试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 一个数的相反数是8，那么这个数是

A. 8 B.  C.  D. 

2. 已知光速为300000千米秒，光经过t秒传播的距离用科学记数法表示为千米，则n可能为

A. 5 B. 6 C. 5或6 D. 5或6或7

3.如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的从上面看到的形状图，图中所示的数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体从左面看到的形状图是

A.  B.  C.  D. 

4. 从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程有实数解的概率为

A.  B.  C.  D. 

5. 如图，某数学活动小组在吉林广播电视塔周边做数学测算活动、在C处测得最高点A的仰角为，在D处测得最高点A的仰角为，点C，B，D在同一条水平直线上，且吉林广播电视塔的高度AB为，则CD之间的距离为

A.  B. 

C.  D. 

6. 下列命题中，正确的是 

顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．

A.  B.  C.  D. 

7. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为

A. 12 B. 12或15 C. 15 D. 9

8. 已知点是反比例函数图象上的一点，则下列各点中，也在该函数图象上的是

A.  B.  C.  D. 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 因式分解：______．

10. 已知关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围为______

11.如图，，，DB平分，则的度数为______．

14.一个大正方形中有2个小正方形，若它们的面积分别为，，则 ______ 填

“”或“”或““．

15. 计算：

化简：

16.    分如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，一组牌分别是黑桃1、2、3、4，另一组牌方块1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，

摸出的两张牌的牌面数字之和等于的概率是多少？

摸出的牌面数字和大于4的概率是多少？

17.    某校组织七年级学生从学校出发，到距学校9km的教育基地开展社会实践活动，一部分学生骑自行车先出发，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果两批学生同时到达目的地．已知公共汽车的行驶速度是自行车骑行速度的3倍，求自行车的骑行速度和公共汽车的行驶速度分别是多少？

18.    如图，中，，D是AB的中点，过点D作于点E；过点B作，交ED的延长线于点F．

求证：≌；

某数学兴趣小组解答后发现，在图中只需将剪下来拼到处，就可得到一个与等面积的矩形EFBC继续讨论后又发现，任意三角形也可以剪拼成一个等面积的矩形，请你在图中画出一种剪拼示意图，并简要说明作法不需要证明

19.    某小学开展寒假争星活动，学生可以从“自理星”、“读书星”、“健康星”、“孝敬星”等中选一个项目参加争星竞选，根据该校一年级某班学生的“争星”报名情况，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：

参加调查的学生共有______人；

将条形统计图补充完整；

请计算扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数；

根据调查结果，试估计该小学全校3600名学生中争当“健康星”的学生人数．

20.    如图，四边形ABCD是平行四边形，把沿对角线BD翻折得到．

利用尺规作出要求保留作图痕迹，不写作法；

设与BC交于点E，求证：≌．

21.    甲、乙分别骑自行车和摩托车从长沙出发前往30km外的湘潭，途中乙因修车耽误些时间，然后继续赶路如图，线段OA和折线OBCD分别反映了两人所行路程和时间的函数关系．

甲骑自行车的速度是______ ；

两人第二次相遇时，离长沙______ km；

求线段CD所在直线的函数的解析式．

22.    如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点， ABCD的顶点A的坐标为，点D的坐标为，点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G求 DCB的度数；

当点F的坐标为时，求点G的坐标；

连接OE，以OE所在直线为对称轴， OEF经轴对称变换后得到 OEF，记直线EF与射线DC的交点为H．

    如图2，当点G在点H的左侧时，求证： DEG∽ DHE；

  若 EHG的面积为，请直接写出点F的坐标．

23.    在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF、EG始终与矩形AB、BC两边相交，，，

如图1，当EF、EG分别过点B、C时，求的大小；

在的条件下，如图2，将绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动．若EF、EG分别与AB、BC相交于点M、N，

在旋转过程中，四边形BMEN的面积是否发生变化？若不变，求四边形BMEN的面积；若要变，请说明理由．

如图3，设点O为FG的中点，连结OB、OE，若，当OB的长度最小时，求的值．

24.    如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于A、B两点点B在点A的右侧，与y轴交于点C．

求抛物线的解析式；

以BC为边作正方形CBDE，求对角线BE所在直线的解析式；

点P是抛物线上一点，若，求出点P的坐标．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：的相反数是8，

故选：B．

根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．

此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．

2.答案：C

解析：解：当时，光传播的距离为千米，则；当时，光传播的距离为千米，则因为，所以n可能为5或6，

故选：C．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.答案：A

解析：解：观察图形可知，这个几何体从左面看到的形状图是．

故选：A．

由俯视图易得此组合几何体有3层，三列，3行．找从左面看所得到的图形，应看俯视图有几行，每行上的小正方体最多有几个．

本题考查了由三视图判断几何体，三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

4.答案：C

解析：解：画树状图得：

由树形图可知：一共有16种等可能的结果，其中使的有8种结果，

关于x的一元二次方程有实数解的概率为，

故选：C．

首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

5.答案：D

解析：解：在直角中，，

在直角中，，

则

即CD之间的距离为，

故选：D．

通过解直角和直角分别求得BC、BD的长度，根据即可求得CD的长度．

本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

6.答案：B

解析：试题分析：根据圆周角定理及确定圆的条件对各个命题进行分析，从而得到答案．

、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；

、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；

、圆周角定理，故正确；

、符合确定圆的条件，故正确；

、符合圆周角定理，故正确；

所以正确的是．

故选B．

7.答案：C

解析：解：当3为底时，其它两边都为6，

3、6、6可以构成三角形，

周长为15；

当3为腰时，

其它两边为3和6，

不能构成三角形，故舍去．

这个等腰三角形的周长为15．

故选：C．

因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

8.答案：A

解析：

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

先根据反比例函数图象过点求出k的值，再根据的特点进行解答即可．

解：反比例函数图象过点，

，即，

A、，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确．

B、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

D、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

故选：A．

9.答案：

解析：解：．

故答案为：．

提取公因式2即可．

本题考查了因式分解．解题的关键是掌握用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

10.答案：

解析：解：解不等式组得：，

关于x的不等式组有且只有四个整数解，

，

解得：，

故答案为：．

先求出不等式组的解集，根据已知得出不等式组，求出解集即可．

本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．

11.答案：

解析：解：，

，

平分，

，

，

，

则的度数为：．

故答案为：．

直接利用平行线的性质以及角平分线的性质得出，进而得出答案．

此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键．

12.答案：

解析：由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：，进而得出塑料膜的面积．

13.答案：

解析：解：连接CD，

中，，，

，

以AC为直径的圆交AB于点D，

，

，

，

，

图中阴影部分的面积为：

故答案为：．

连接CD，构建直径所对的圆周角，利用等腰直角三角形的性质得出图中阴影部分的面积为的面积，即可得出答案．

此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及圆周角定理的推论等知识，连接CD是解决问题的关键．

14.答案：

解析：解：如图，设大正方形的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，，，

，，

的边长为，的面积为，的边长为，的面积为，

．

故答案为：．

设大正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得的边长，由面积的求法可得答案．

本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

15.答案：解：原式

；

原式

．

解析：直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；

直接利用整式的混合运算法则化简进而得出答案．

此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

16.答案：；

．

解析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．

解：可以用下表列举所有可能得到的牌面数字之和：

由上表可知，共有16种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共出现4次，因此牌面数字之和等于5的概率为：

．

17.答案：解：设自行车的速度为，则公共汽车的速度为，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是原分式方程的解，

．

答：自行车的速度是，公共汽车的速度是．

解析：设自行车的速度为，则公共汽车的速度为，根据时间路程速度结合乘公共汽车比骑自行车少用半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

18.答案：证明：，，D是AB的中点，

，，

，

≌；

如图，分别过AC、BC的中点M、N作AB的垂线，垂足分别为O、P，再过点C作AB的平行线，与OM、PN的延长线交于点E、F，

则≌，≌，

的面积与矩形OPFE的面积相等．

解析：利用全等三角形的判定AAS即可证明≌；

分别过AC、BC的中点M、N作AB的垂线，垂足分别为O、P，再过点C作AB的平行线，与OM、PN的延长线交于点E、F，则的面积与矩形OPFE的面积相等．

本题考查了全等三角形的判定与性质及剪拼作图，解题关键是灵活运用全等三角形的判定与性质．

19.答案：

“自理星”的人数为人，

补全图形如下：

扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数为；

，

答：该小学全校3600名学生中争当“健康星”的学生人数为8人．

解析：解：参加调查的学生共有人，

故答案为：50；

见答案；

见答案；

见答案．

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

20.答案：解：如图，为所求；

证明：四边形ABCD是平行四边形，

，，

沿对角线BD翻折得到，

，

，

在和中

，

≌．

解析：分别以B、D为圆心，BA和DA为半径画弧交于点，则满足条件；

先根据平行四边形的性质得到，，则利用折叠性质得到，所以，然后根据“AAS”可证明≌．

本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定．

21.答案：  20

解析：解：由图可得，

甲骑自行车的速度是：千米分钟，

故答案为：；

两人第二次相遇时距离长沙：千米，

故答案为：20；

设线段CD的表达式为，

线段CD经过点和，

，

解得，，

，

当时，，

线段CD所在直线的函数的解析式为．

根据函数图象中的数据可以求得甲骑自行车的速度；

根据中的答案和函数图象中的数据可以求得两人第二次相遇时距离长沙的距离；

根据中的答案和一次函数的性质可以求得线段CD所在直线的函数的解析式．

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

22.答案：解：在中，

，

四边形ABCD是平行四边形，

四边形ABCD是平行四边形，

，．

又，，

≌AEF，

．

，

点G的坐标为 

．

经轴对称变换后得到，

，

．

在 AOD中， E是AD的中点， OE AD AE．

又 EAO EOA， AEO．

又，

，，

，．

又∽．

点F的坐标是，，，．

对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．过点E作EM直线CD于点M，

，，

．

△EGH CH，

．

∽，

即．

当点H在点G的右侧时，设 x， x，

 xx，

解得：x，x 舍．

 DEG≌，

．

，

点F的坐标为，．

当点H在点G的左侧时，设 x， x，

 xx，

解得：x，x舍．

≌．

，

点F的坐标为，．

综上可知，点F的坐标有两个，分别是，，F，．

解析：略

23.答案：解：如图1中，

四边形ABCD是矩形，

，，

，

≌，

，

，

．

结论：四边形BMEN的面积不变．

理由：由可知：，

，

，

，

≌，

，

．

如图当E，B，O共线时，OB的值最小，作于H．

，，

，

，

，

是等边三角形，，

，，

，

，

，

．

解析：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

证明≌，可得，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．

四边形BMEN的面积不变．证明≌，推出，可得．

如图当E，B，O共线时，OB的值最小，作于H，想办法求出BH，GH即可解决问题．

24.答案：解：抛物线的对称轴是直线

，解得：

抛物线的解析式为

当时，解得：，

，

，

当时，

，

如图1，若点E在第一象限，过点E作轴于点F

四边形CBDE是正方形

，

在与中

≌

，

设直线BE解析式为：

   解得：

直线BE解析式为 

如图2，若点E在第三象限，过点E作轴于点F

同理可证：≌

，

设直线BE解析式为：

  解得：

直线BE解析式为

综上所述，直线BE解析式为 或

以AB为斜边作等腰，则，

以点G为圆心、AG长为半径画圆，则点P在优弧AB上时总有．

如图3，若点G在第一象限，与抛物线交点只有A、B，即没有满足条件的点P使

如图4，若点G在第四象限，过点G作轴于点M

，

设

 可得方程：

解得：，，即点A，舍去，即点B，舍去

点P坐标为或

解析：利用对称轴公式列式即求出a的值，进而得抛物线解析式．

由于边DE所在位置不同，故需对点E所在位置分类讨论．过点E作y轴垂线，根据构造三垂直全等模型，即求得点E坐标，进而求直线BE解析式．

由点P运动过程中联想到圆周上的圆周角，只要构造出为圆周角，其所对圆心角等于即可．故以AB为斜边作等腰直角三角形若G在第一象限，则圆与抛物线无除A、B外的交点，故点G需在第四象限．求出点G坐标，设P坐标，以PG的长等于半径为等量关系列方程，即求得p的值进而得点P坐标．

本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，圆周角定理，两点间距离公式．解题关键是：第题由正方形构造全等；第题由P为动点而为定值联想到圆周角定理．