2019-2020学年浙江省宁波市六校高二(上)期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）命题：“ “是命题：“直线与直线垂直“成立的　　

A．必要非充分条件 B．充分非必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（3分）已知双曲线，双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

3．（3分）设、、是三个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列说法正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

4．（3分）命题：“ “是命题：“函数在上是单调递增”成立的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．（3分）过点且倾斜角比直线的倾斜角小的直线方程是　　

A． B． C． D．

6．（3分）直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

7．（3分）已知实数，满足约束条件，若目标函数的最小值为，则正实数的值为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

8．（3分）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于　　

A． B． C． D．

9．（3分）曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积是　　

A． B． C． D．

10．（3分）两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为　　

A．1 B．3 C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．（3分）若直线和平行，则的值为　　；这两条平行线与之间的距离为　　．

12．（3分）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为　　；　　．

13．（3分）已知实数，满足．则的最大值是　　，最小值是　　．

14．（3分）一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的表面积为　　，该三棱锥的体积为　　．

15．（3分）函数的单调增区间为　　．

16．（3分）在直角坐标系平面内，动直线与动直线相交于点，则点的轨迹方程是　　．

17．（3分）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若点满足，则该双曲线的离心率是　 　．

三、解答题（共5小题，满分0分）

18．已知椭圆，直线经过点交椭圆于，两点，当平行于轴时，．

（1）求椭圆方程；

（2）当直线1的倾斜角时，求．

19．如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，、、分别是线段，，的中点，求证：

（1）平面

（2）平面．

20．已知函数．

（1）若，求曲线在处的切线方程：

（2）若，且当，时，恒成立，求的取值范围．

21．如图，在等腰梯形中，，，，，将沿折起，使平面平面．

（Ⅰ）若是侧棱中点，求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

22．已知抛物线焦点为，且，，过作斜率为的直线交抛物线于，两点．

（Ⅰ）若，，求；

（Ⅱ）若为坐标原点，为定值，当变化时，始终有，求定值的大小；

（Ⅲ）若，，，当改变时，求三角形的面积的最大值．

2019-2020学年浙江省宁波市六校高二（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）命题：“ “是命题：“直线与直线垂直“成立的　　

A．必要非充分条件 B．充分非必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：若“直线与直线垂直”，则，解得，

故是成立的充要条件，

故选：．

2．（3分）已知双曲线，双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：双曲线，可得，，

所以双曲线的离心率为：．

故选：．

3．（3分）设、、是三个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列说法正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【解答】解：对于，若，，则或与相交，即错误；

对于，若，，则或，即错误；

对于，若，，由线面垂直的性质定理可知，，即正确；

对于，若，，则或与相交，即错误．

故选：．

4．（3分）命题：“ “是命题：“函数在上是单调递增”成立的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：当时，，当时，在上恒成立，为上的增函数，

由，故“命题：“ “是命题：“函数在上是单调递增”的充分不必要条件，

故选：．

5．（3分）过点且倾斜角比直线的倾斜角小的直线方程是　　

A． B． C． D．

【解答】解：直线的斜率为，倾斜角为，

故比它的倾斜角小的直线的倾斜角为，再根据此直线过点，

故要求的直线的方程为，

故选：．

6．（3分）直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：

由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于1，

，

，

，

故选：．

7．（3分）已知实数，满足约束条件，若目标函数的最小值为，则正实数的值为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

【解答】解：目标函数

，

设，

则的计划有意义是区域内的点到定点

的斜率，

若目标函数的最小值为，

即的最小值是，

由，得，即的最小值是，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由斜率的意义知过的直线经过时，

直线的斜率最小，

此时，

得，得，

故选：．

8．（3分）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：延长到，使得，则为平行四边形，

就是异面直线与所成的角，

又，

则三角形为等边三角形，

故选：．

9．（3分）曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：曲线，

，切线过点

，

切线方程为：，

令，得，与轴的交点为：，

令，，与轴的交点为：，

曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积，

故选：．

10．（3分）两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为　　

A．1 B．3 C． D．

【解答】解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为，，

圆心分别为，，半径分别为 2和1，故有，，

，，

当且仅当，并且时，等号成立，

故选：．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．（3分）若直线和平行，则的值为　　；这两条平行线与之间的距离为　　．

【解答】解：直线和平行，，求得，

故，即，

故两条平行线与之间的距离为，

故答案为：；．

12．（3分）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为　　；　　．

【解答】解：圆的圆心为，半径为1，

以、为直径的圆的方程为，

将两圆的方程相减可得公共弦的方程，

，；

；

；

；

故答案为：，．

13．（3分）已知实数，满足．则的最大值是　　，最小值是　　．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图

由，解得，同理解得，．

（1）设，则的几何意义是区域内的点到定点的距离，由图象知的距离最大，

此时，

所以

到直线的距离最小，此时到直线的距离，

故答案为：；．

14．（3分）一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的表面积为　9　，该三棱锥的体积为　　．

【解答】解：由正视图和侧视图可知，该三棱锥如图所示，

且，，，，平面，

则，，

，

．

故答案为：9，1．

15．（3分）函数的单调增区间为　　．

【解答】解：由于函数的导数为，

令 可得，解得，

故函数的单调递增区间是，

故答案为：．

16．（3分）在直角坐标系平面内，动直线与动直线相交于点，则点的轨迹方程是　　．

【解答】解：动直线过，

动直线过点，且两直线垂直，

故两直线的交点是在以为直径的圆上，

因为的中点，，

故圆的方程为．

故答案为：．

17．（3分）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若点满足，则该双曲线的离心率是　　．

【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为，则

与直线联立，可得，，，，

中点坐标为，，

点满足，

，

，

，

．

故答案为：．

三、解答题（共5小题，满分0分）

18．已知椭圆，直线经过点交椭圆于，两点，当平行于轴时，．

（1）求椭圆方程；

（2）当直线1的倾斜角时，求．

【解答】解：（1）当平行于轴时，．所以时，，即，，

所以，所以，

椭圆的方程：；

（2）因为直线的斜率为，所以直线的方程为，设，，，．

联立方程组，消去，整理得，

则，，

所以．

所以．

19．如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，、、分别是线段，，的中点，求证：

（1）平面

（2）平面．

【解答】证明：（1），分别是线段，的中点，

．

又平面，平面，

平面．

（2）为的中点，且，

，

又底面，底面，

．

又四边形为正方形，

．

又，

平面．

又平面，

．

又，

平面．

20．已知函数．

（1）若，求曲线在处的切线方程：

（2）若，且当，时，恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）时，，，

由题意可得，（1），切线斜率（1），

故曲线在处的切线方程即；

（2），

①若，则易得函数在，上单调递减，则只要（3），

解可得，，不合题意，舍去；

②，故在，上单调递减，上递增，

故只要，

，

解可得，．

综上可得，的范围，．

21．如图，在等腰梯形中，，，，，将沿折起，使平面平面．

（Ⅰ）若是侧棱中点，求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）在梯形中，，，，，

，，，

取的中点，连接，，

则，且，

则四边形为平行四边形，

则，

平面，平面，

平面；

（2），平面平面，

面面，面

面，

建立以为坐标原点，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图：

则，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，

则，2，，，1，，，0，，

设平面的法向量为，，，

则由，

令，则，

即，0，，

直线与平面所成角的正弦值，．

22．已知抛物线焦点为，且，，过作斜率为的直线交抛物线于，两点．

（Ⅰ）若，，求；

（Ⅱ）若为坐标原点，为定值，当变化时，始终有，求定值的大小；

（Ⅲ）若，，，当改变时，求三角形的面积的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，抛物线的方程为，

直线的方程为，

联立，．

设，，，，则，，

，，，

解得．

（Ⅱ），，为定值，当变化时，始终有，

，

解得或．

（Ⅲ）当时，，

由判别式△，得，

则

，

当时，三角形的面积取最大值．