福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学(理)试题+PDF版含答案

理科数学试题参及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1~5：6~10：11~12：

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．14．15．16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．本题考查三角函数定义、图形分析、余弦定理、图形的分割、三角恒等变换、辅助角公式、三角函数有界性等基础知识。本题考查学生三角函数概念的形成过程、图象分析能力、运算求解能力，其中渗透静止与运动观点、化归与转化、数形结合的思想。

解：（1）由点C在单位圆上，可知,1分由图象可得；2分在中，,,；3分由余弦定理得；4分解得；5分（2）设,6分，7分四边形的面积=+8分

10分

"c":

证明：（1）∵平面平面，平面平面

∴平面，2分又平面，∴，3分

又∵，且，

∴平面．5分

解：（2）法一：设，∵四边形为等腰梯形，，

∴，

∵，∴四边形为平行四边形，

∴，6分

又∵平面，∴平面．

∴为与平面所成的角，

∴，7分又∵，∴

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，

，8分∵平面，∴平面的法向量为，9分

设平面的一个法向量为，由得

令得，10分

．11分∴二面角的余弦值为．12分

法二：同法一得平面，.7分过作，垂足为点，连结，

∵平面，平面，

∴，8分又∵，∴平面，

∵平面，∴，

故即为二面角的平面角．9分

在中，求得，10分∴，

∴．∴二面角的余弦值为．12分

19．本题考查数列等差数列，通项公式与前项和关系，数列并项求和方法，裂项相消法；

考查计算求解能力、推理论证能力；考查方程思想.

解：法一：（1）由已知：

当时，①，即1分

当时，②

②－①，得；即2分

设等差数列公差为，由，有3分

因为，解得，5分则6分（1）法二：设等差数列公差为，

2分

3分

，则，

，因为，5分

解得，则且6分（2）由已知：③

当时，④

③－④，得：当时，即，7分

结合，得：（）8分

10分

11分

12分

20．本题考查椭圆的定义、图形的分析、图形的分割、图像的运动过程中的不变量，面积的求解等基础知识。本题考查学生圆锥曲线的概念的形成过程、图形分析能力、运算求解能力，其中渗透静止与运动观点、化归与转化、函数方程、数形结合的思想。

解：（1）由已知得：,所以2分

又，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，

所以点的轨迹方程是.4分（2）设直线A B：，，则，

联立直线A B与椭圆得，得，

6分，所以直线，

所以令，得，8分

，

所以直线过定点，10分所以的面

，当且仅当时，等号成立.

所以面积的最大值是．12分21．本小题考查函数与导数、不等式性质等基本知识，考查数算能力，推理论证能力，考查数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想．考查数算、直观想象等数学核心素养．解：（1）由题意，1分

．2分

（ⅰ）当时，令，得；，得，

所以在单调递增，单调递减．

所以的极大值为，不合题意.3分（ⅱ）当时，,令，得；，得或，

所以在单调递增，单调递减．4分所以的极大值为，得.5分

综上所述.

（2）令，当时，

则对恒成立等价于，

即，对恒成立．7分（ⅰ）当时，，此时，不合题意.9分

（ⅱ）当时，令，

则，其中，

令，则在区间上单调递增．10分

①时，

所以对，从而在上单调递增，

所以对任意，

即不等式在上恒成立．11分

②时，由及在区间上单调递增，

所以存在唯一的使得，且时，．

从而时，所以在区间上单调递减，

则时，即，不符合题意．12分

综上所述，．

22．本题考查曲线的极坐标的概念、方程等基本知识，考查参数方程、普通方程及极坐标方程之间的互化，考查运算求解的能力，及数形结合、化归转化的数学思想方法。

解：（1）将的方程化为直角坐标方程：，即．2分

将代入可得4分化简得5分（化为，均可给分）

（2）根据题意：射线的极坐标方程为．或6分

，7分则

，9分当且仅当，即时，取得最小值．10分

故的最小值为．

23．考查绝对值不等式的性质、解法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，化归转化，分类与整理的数学思想。

解：（1）依题意：2分

，4分

当且仅当，即时，等号成立．5分（2）①当，即时，

则当时，故．7分

②当，即时，

则当时，故．8分

③当时，即时，有最小值，不符合题意，舍去．9分

综上所述：或．10分