二次函数的最值问题和复习

【知识要点】 

二次函数的一般式()化成顶点式

1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．

（1）当时，函数有最小值，并且当，；

（2）时，函数有最大值，并且当，．

2、如果自变量的取值范围是，

（1）如果顶点在自变量的取值范围内，则当，；

（2）如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；

① 如果在此范围内随的增大而增大，则当时，，

当时，；

② 如果在此范围内随的增大而减小，则当时，，

当时，．

例：求下列二次函数的最值：

（1）求函数的最值．（2）求函数的最值． 

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。

【商业利润问题】

解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

例2、某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？

例3、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)

（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

【面积最值问题】

例1、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

例2、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 

例3、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；

（2）求支柱的长度；    

（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．

随堂练习

1、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是         ．

2、如图所示，在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为(    )

A． m      B．6 m        C．15 m        D． m

3、如图，矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式                    

M

N

第3题图

第2题图

第1题图

4、将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（    ）

    A．7       B．6        C．5        D．4

5、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价           元，最大利润为            元．

二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分 基础知识

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质

（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.

（2）函数的图像与的符号关系.

    ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.

3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

  ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

  ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

 （1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线中，的作用

 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线

，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

      当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

      ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

      以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

12.直线与抛物线的交点

 （1）轴与抛物线得交点为(0,).

 （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

 （3）抛物线与轴的交点

      二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

  （4）平行于轴的直线与抛物线的交点

      同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

  （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

第二部分 典型习题

1、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   　）

Ａ．ab＞0，c＞0　Ｂ．ab＞0，c＜0　Ｃ．ab＜0，c＞0　　Ｄ．ab＜0，c＜0

第1题图                         第2题图

2、如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（     ）

3、抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为       ．

4、已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：

A．       B．          C．              D． 

5、已知一元二次方程的两个实数根、满足和，那么二次函数的图象有可能是（     ）

6、二次函数的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（    ）

7、已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为_______________.

8、已知抛物线:y=x²-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。

(1)求m的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形. 

9、已知抛物线（0）与轴交于、两点．

（1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；

（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；

（3）设抛物线与轴交于点，若是直角三角形，求的面积．

10、已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.   

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；

（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.

11、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

　（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

　 （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．