同济版线性代数第三章习题全解

1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：

(1)　;             (2)　;

(3)　;      (4)　.

解　(1)　  

(2)　 

(3)　 

(4)　 

2．在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶

子式?

解　　在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等

于0的阶子式.

例如， 

同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.

3．从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样?

解   

设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得

到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于，

故而.

4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,

解　　设为五维向量,且,

,则所求方阵可为秩为4,不妨设

取

故满足条件的一个方阵为

5．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：

(1)　;      (2)　；

(3)　.

解　(1)　 

二阶子式．

(2) 

.

二阶子式．

(3) 

秩为3

三阶子式．

6．求解下列齐次线性方程组:

(1)　  (2)　 

(3)   (4) 

解　(1)　对系数矩阵实施行变换:

即得

故方程组的解为

(2)　对系数矩阵实施行变换:

　即得

故方程组的解为

(3)　对系数矩阵实施行变换:

即得

故方程组的解为

(4)　对系数矩阵实施行变换:

即得

故方程组的解为

7．求解下列非齐次线性方程组:

(1)        (2) 

(3)        (4) 

解　(1)　对系数的增广矩阵施行行变换,有

而,故方程组无解．

(2)　对系数的增广矩阵施行行变换:

即得亦即

(3)　对系数的增广矩阵施行行变换:

即得　即

(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:

即得　即

8．取何值时,非齐次线性方程组

(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?

解　(1)　,即时方程组有唯一解.

(2)　 

由

得时,方程组无解.

(3)　,由,

得时,方程组有无穷多个解.

9．非齐次线性方程组

当取何值时有解？并求出它的解．

解　

方程组有解，须得

当时,方程组解为

当时,方程组解为

10．设

问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解

时求解．

解　　

当,即　且时，有唯一解.

当且，即时，无解.

当且，即时，有无穷多解.

此时，增广矩阵为

原方程组的解为   ()

11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：

(1)　;          (2)　.

解　（1）

故逆矩阵为

(2)　 

故逆矩阵为

12．(1)　设,求使;

(2) 设,求使.

解

(1) 

(2) 

．