广东省肇庆市中小学教学质量评估2012-2013学年第一学期统一检测高三理科数学试题

高三数学（理科）

参考公式：1、锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设（是虚数单位），则(   )

 A．  B．    C．     D． 

2．已知集合，，则（    ）

A. 0           B. 3          C. 4           D. 3或4

3．已知向量且，则等于 （   ）

A.             B.0          C .       D. 

4．已知变量满足约束条件，则的取值范围是（   ）

    A.              B.              C.            D. 

5．图1是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是  (　　)

    A.    B.       C.       D. 

6．已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是(    ). 

A.          B.           C.               D. 

7．的展开式中含的正整数指数幂的项数是(    )

A.0            B.2               C.4              D.6

8.定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①，②，③，

④若，则.

恒成立的有

A．1个          B.2个          C.3个      D.4个

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 

（一）必做题（9～13题）

9．不等式的解集是        .

10．等比数列{}中，，则等于         

11．函数在区间上最大值为            

12．圆心在直线上的圆C与轴交于两点、，则圆C的方程为__________.

13．某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6， 则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分     方差为          

（  ）       ▲      

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为_____

15.（几何证明选讲选做题）如图3,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,，则         .

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 

16.（本小题满分12分）

已知向量，函数（），且.（1）求函数的表达式；（2）设， 

；求的值

17.（本小题满分12分）

2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段： 

后得到如图4的频率分布直方图．问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （3）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在的车辆数的分布列及其均值（即数学期望）．

18. （本题满分14分）

如图5，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。  

(1)求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离. 

19.（本小题满分14分）

某产品在不做广告宣传且每千克获利元的前提下，可卖出千克。若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出千克，（）。

（1）当广告费分别为1千元和2千元时，用表示销售量；

（2）试写出销售量与的函数关系式；

（3）当=50, =200时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

20. （本小题满分14分）

已知两圆的圆心分别为，为一个动点，且.

(1）求动点的轨迹M的方程；（2）是否存在过点的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数，其中是自然对数的底数，．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，求整数的所有值，使方程在上有解；

（3）若在上是单调增函数，求的取值范围．

肇庆市中小学教学质量评估

2012—2013学年第一学期统一检测题

高三数学（理科）参

1D解析： 

2D解析： 3或4

3B解析:.

4A解析：约束条件对应的三个“角点”坐标分别为： ，则

5B解析:由框图的顺序，s=0，n=1，s=(s+n)n=(0+1)*1=1，n=n+1=2，依次循环s=(1+2)*2=6，n=3，注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s =(6+3)*3=27，n=4，

此刻输出s=27.

6B解析：三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，所以，这个几何体的体积

7B解析：展开式通项为Tr+1=，若展开式中含的正整数指数幂，即∈N*,且,所以.

8B解析： ①恒成立；

② ， ，当时，不成立；

③当不共面时，不成立，例如取为两两垂直的单位向量，易得，；

④由，，可知， ，

故恒成立.

9填：  解析：不等式等价于

10解析：   ， 

11解析：   ， 

12解析：    直线AB的中垂线方程为，代入，得，故圆心的坐标为，再由两点间的距离公式求得半径，∴ 圆C的方程为

13解析:85，   成绩平均分85 ，方差为

14解析：   两式相除得，交点的极坐标为

15解析:4    ∵A、B、C、D共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵=,∴∠DAC=∠DBC.

而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=.

16解析：（1）依题意得    (2分)

又得,即，∴               (4分)

∴                                                   (5分)

 （2）由得，即

∴,                                                        (7分)

又∵,∴，                                         (8分)

由得,即

∴,                                                           (10分)

又∵,∴

                 (12分)

17解:（1）系统抽样                                                      (2分)   

（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于            (4分)

设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：

，解得

即中位数的估计值为                                           (6分)

（3）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），(7分)

车速在的车辆数为：（辆）             (8分)

∴， 

，，，

的分布列为

均值.                                 (12分)

18解：（1）证明：因为是的中点，， 所以   (1分) 

 由底面，得，                         (2分)

又，即，又在平面内，    (3分)

平面，所以，                     (4分)

又在平面内，

平面， 。                    (5分)

（2）方法一：

    由（1）知，平面，所以，

    由已知可知， 

    所以是平面与平面所成的二面角的平面角   (6分)

在直角三角形中，     (7分)

因为直角三角形斜边的中点，所以          (8分)

在直角三角形中，                 (9分)

即平面与平面所成的二面角的余弦值为.       (10分)

方法二：如图建立空间直角坐标系，则， 

，                               (6分)

设平面的法向量为，则

即，令，则，

所以平面的一个法向量为                  

显然是平面的一个法向量                  (7分)

设平面与平面所成的二面角的平面角为，则

                             (9分)

即平面与平面所成的二面角的余弦值为.        (10分)

(3)由已知得，                 (11分)

               (12分)

设点到平面的距离为，

则           (13分)

由，即，得                

即点到平面的距离.                             (14分)

19解：（1）当广告费为1千元时，销售量        (2分)

当广告费为2千元时，销售量     (4分)

（2）设表示广告费为0千元时的销售量，

由题意得，                     (7分)

  以上个等式相加得(8分)

即      (10分)

（3）当=50, =200时，设获利为,则有

                              (11分) 

 欲使最大，则，

即  (12分)

得，   故,此时

即该厂家应生产350千克产品，做3千元的广告，能获利最大。      (14分)

20解：（1）两圆的圆心坐标分别为和      （2分）

    ∵

∴根据椭圆的定义可知，动点的轨迹为以原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆，    （4分）

 ∴椭圆的方程为，即动点的轨迹M的方程为(6分)

（2）(i)当直线l的斜率不存在时，易知点在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在。（7分）

（ii）设直线l斜率存在，设为，则直线l的方程为    （8分）  

由方程组得①     （9分） 

依题意解得      （10分）

当时，设交点，CD的中点为，

方程①的解为，则

∴    （11分）

要使，必须，即    （12分）

∴，即②       

∵或，∴无解  （13分）

所以不存在直线，使得

综上所述，不存在直线l，使得     （14分）

21解：(1)因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为．                           (4 分)

(2)当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，

所以在和内是单调增函数， 又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为．                      （8分）

(3)，

①当时，，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；                                                      (10 分)

②当时，令，因为， 

所以有两个不相等的实数根，，不妨设，因此有极大值又有极小值．

若，因为，所以在内有极值点，

故在上不单调．                                              （12分）

若，可知，

因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以. 

综上可知，的取值范围是．                                (14分)