空间解析几何及向量代数测试题及答案

一、填空题（共7题，2分/空，共20分）

1.四点,,,组成的四面体的体积是______.

2.已知向量,,,则=__(-2,-1,0)____.

3.点到直线的距离是______________.

4.点到平面的距离是_____________.

5.曲线C:对xoy坐标面的射影柱面是_______,

对yoz坐标面的射影柱面是___________,对xoz坐标面的射影柱面是______________.

6.曲线C:绕轴旋转后产生的曲面方程是_______，曲线C绕轴旋转后产生的曲面方程是__________________.

7.椭球面的体积是_________________.

二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）

1. 过点作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里是3个非零实数.

解: 设点在平面上的射影点为，在平面上的射影点为，在平面上的射影点为，则，

于是，，所确定的平面方程是

即  . 

2.已知空间两条直线,.

(1)证明和是异面直线;(2)求和间的距离;(3)求公垂线方程.

证明：(1) 的标准方程是，经过点，方向向量

的标准方程是，经过点，方向向量，于是

，所以和是异面直线。

(2) 由于，

和间的距离 

(3)公垂线方程是，即。

3.求曲线绕x轴旋转产生的曲面方面.

解：设是母线上任意一点,则过的纬圆方程是，（1）

又  ，（2）

由（1）（2）消去得到.

4.已知单叶双曲面,为腰椭圆上的点,

(1)求经过点两条直母线方程及其夹角;

(2)求这两条直母线所在的平面的方程及平面与腰椭圆所在平面的夹角.

解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是与

把点分别代入上面两方程组，求得代入直母线方程，得到过点的两条直母线与，即与

两直母线的方向向量可分别取和，设两直母线的夹角是，则有，.

（2）两直母线所在平面的方程是，即

显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0. 

四、证明题(共2题,第一题10分,第二题15分,共25分)

1.求证:曲线在一个球面上,这里的. 

证明:设，则有，即

所以曲线在球心为,半径为的球面上。

2.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:

(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.

证明: (1) 双曲抛物面的u族直母线中任一条直母线都平行于平面,

v族直母线中任一条直母线都平行于平面,

因而结论成立.---------5分

 (2)不妨取u族直母线来证明，任取u族直母线中两条直母线

：①和 ：②

其中.由于①的第一个方程表示的平面平行于②的第一个方程表示的平面,即和在两个平行平面上,因而和不会相交.

又由于直线的方向向量为

直线的方向向量为

由于,因此和不会平行,从而证明了双曲抛物面的同族的两条直母线异面.