一元一次方程知识点总结及习题

                   初一数学上册：一元一次方程

总结日期：2015年3月13日

讲解日期：2015年3月14日

【第一部分】知识点分布

1、    一元一次方程的解（重点）

2、    一元一次方程的应用（难点）

3、     求解一元一次方程及其在实际问题中的应用(考点)

【第二部分】关于一元一次方程的讲义

一、一元一次方程

（1）、含有未知数的等式是方程。

（2）、只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

（3)、分析实际问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

（4)、列方程解决实际问题的步骤：①设未知数；②找等量关系列方程。

（5）、求出使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

（6）、求方程的解的过程，叫做解方程。

二、等式的性质

（1）、用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式。

（2）、等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

      如果a=b，那么a±c=b±c.

（3）、等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

      如果a=b，那么ac=bc;

      如果a=b且c≠0，那么.

（4）、运用等式的性质时要注意三点：

①等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算;②等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子；

③等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母。

三、一元一次方程的解

1、解一元一次方程——合并同类项与移项

（1）、合并同类项的依据：乘法分配律。合并同类项的作用：是一种恒等变形，起到“化简”的作用，它使方程变得简单，更接近x=a（a是常数）的形式。

（2）、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

（3）.移项依据：等式的性质1.移项的作用：通过移项，使含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a（a是常数）的形式。

2、解一元一次方程——去括号与去分母

（1）、方程两边都乘以各分母的最小公倍数，使方程不在含有分母，这样的变形叫做去分母。

（2）、顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。

（3）、工作总量=工作效率×工作时间。

（4）、工作量=人均效率×人数×时间。

四、实际问题与一元一次方程

（1）、售价指商品卖出去时的的实际售价。

（2）、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。进价指商品的买入价，也称成本价。

（3）、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。它与售价不同，它指的是原价。

（4）、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。

（5）、盈亏问题：利润=售价－成本； 售价=进价+利润；售价=进价+进价×利润率；

（6）、产油量=油菜籽亩产量×含油率×种植面积。

（7）、应用：行程问题：路程=时间×速度；   工程问题：工作总量=工作效率×时间；

 储蓄利润问题：利息=本金×利率×时间；   本息和=本金+利息。

【第三部分】戴氏经典练习

16、主要知识点和题型汇总 

01、一元一次方程的概念

1、等式：

①定义：用          表示          关系的式子叫做等式。

②下列各组中是等式的是（         ）

A、        B、       C、       D、

2、方程

①定义：含有             的等式叫做方程

②下列各组中是方程的是（         ）

A、        B、       C、       D、

3、一元一次方程

①定义：整理后，只含有        未知数，并且未知数的次数是        的方程，叫做一元一次方程。②下列各组中是一元一次方程的是（         ）

A、        B、       C、       D、③下列各组中是一元一次方程的是（         ）

A、                  B、      

 C、             D、

④已知关于的方程是一元一次方程，则=（          ）

  A、±2           B、 2          C、 －2           D、 ±1

⑤已知是关于x的一元一次方程，则m=   

02、方程的解

①定义：使方程左右两边的值            的未知数的值叫做方程的解，只含有       未知数的方程的解又称为方程的根。

②若是方程的解，则的值是（         ）

 A、－1             B、  5              C、1             D、－5

③下列方程中根是的是（       ）

A、        B、       C、       D、

④以下判断正确的是（          ）

A、是方程的解       B、是方程的解  

C、是方程的解           D、是方程的解

03、等式的性质

①等式的性质

等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等。

等式两边乘同一个数，或除以同一个               的数，结果仍相等。

②已知等式ax=ay,下列变形不正确的是（    ）.

A、x=y        B、ax+1= ay+1        C、ay=ax        D、3-ax=3-ay

③列说法正确的是（    ）

A、等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；

B、等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；

C、等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；

D、一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；

④在等式两边都除以,可得。这句话对吗？说出你的理由？

_________________________________________________________________

⑤在等式两边都除以，可得。这句话对吗？说出你的理由。_________________________________________________________

04、移项

①定义：把等式一边的某项             后移到另一边，叫做移项。

②通常常数项要移到方程的右边，未知项要移到方程的左边。

③移项时要变号：移正变         ，移负变            。

④下列一项正确的是（         ）

A、若，则          B、若，则        

C、若，则       D、若，则

05、系数化为1

①一元一次方程的最简形式：    

②定义：当把方程化为最简形式后，方程两边都除以未知数的系数          ，得到方程的解           的过程叫做系数化为1.

③系数化为1时，未知数的系数做分母。

④下列系数化为步骤正确的是（         ）

A、由，得到          B、由，得到        

C、由，得到          D、由，得到 

06、去分母

去分母时要注意三点：①确定各分母的最小公倍数； ②不含分母的项也要乘以最小公倍数；③去掉分母后对分子加括号。

④解方程时，去分母，得(      )

A、          B、

C、          D、

⑤方程去分母得(    )

　　A、2-5(3x-7)=-4(x+17)          B、40-15x-35=-4x-68

　　C、40-5(3x-7)=-4x+68           D、40-5(3x-7)=-4(x+17)

⑥李明同学在解方程去分母时，方程右边的－1没有乘3，因而求得方程的解为，试求的值，并正确地解方程。

07、分母由小数化为整数

①将方程的分母化为整数，方程变为                    。

②把中的分母化为整数正确的是（       ）

　A、              B、　　

C、          D、

③下列方程的解答过程是否有错误？若有错误，简要说明产生错误的原因，并改正.

解方程： 

解：原方程可化为： 

去分母，得 

去括号、移项、合并同类项，得      ∴

08、一元一次方程的解法

1、解一元一次方程的一般步骤为：

①去分母,  ②去括号,  ③移项,  ④合并同类项,  ⑤ 系数化为1 

特别说明：去分母前，应把分母化为整数

2、解下列方程

①3（x-2）=2-5(x-2)                         ②

③                    ④

⑤                ⑥

⑦

⑧关于的方程的解是，对于同样的，求另一个关于的方程的解。

09、绝对值方程

①定义：方程中的未知数在绝对值内的方程叫做绝对值方程

②若，则或                 ，解之得x=6或        

③若=3 ，则      或　     ，解之得x＝              。

④解方程： 

10、比例问题

1、建模：①设未知数的方法：已知各个量之间的比例时，按比例设未知数

②相等关系：各分量之和等于总数量

2、已知三个数的比是，若这三个数的和是252，则设这三个数依次是__       ____，可列方程为                                     。

11、分配问题

1、建模：

①分A给B，设B表示A

      ②A的数量=需要量+剩余量=需要量-缺少量

③相等关系：第一种分法中表示的A的数量=第二种分法中表示的A的数量

2、某校七年级近期实行小班教学，若每间教室安排20名学生，则恰好缺少3间教室；若每间教室安排24名学生，则恰好空出1教室。问这所学校为七年级学生安排了多少间教室？

（提醒：  恰好缺少3间教室意思是剩余3×20名学生；

恰好空出1教室意思是缺少1×24名学生）

12、人员调配问题

1、建模： 设未知数的方法 

①内部调配：甲队多x人，乙队就少x人

②外部支援a人：甲队增派x人，则乙队就增派（a－x）人

相等关系：调配后的要求

2、甲队劳动的有43人，在乙处劳动的有22人，现要赶工期，总公司另调28人去支援，使甲处的人数为乙处的两倍，应分别调多少人往两处？

13、资源配套问题

1、建模：

设未知数的方法 

a个人分工生产A、B两种零件，设安排x人生产A零件，则安排(a-x)人生产B零件

相等关系：  A零件的总数：B零件的总数= 一套产品中A与B的比 

2、一张方桌由一张桌面和4条桌腿组成，1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有5立方米木料，问分别用多少木料制作桌面和桌腿，正好配成方桌多少张

14、数字问题

1、基础知识

①一个三位数可以表示为：百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字

②若x表示一个一位数，y表示一个两位数，则把x放在y的左边组成的三位数表示为：100x+y, 把x放在y的右边组成的三位数表示为：10y+ x。

2、设未知数的方法：设某位数字为x,表示其他数位上的数字。

3、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为13，交换这两个数字的位置所得新数比原来两位数大45，求这个两位数。 解：设这个两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为              ，这个两位数表示为                        ，新两位数表示为

                        ，可列方程为                                          。

15、工程问题

1、基础知识：

①甲单独完成某件工作的时间为a,则甲的工作效率为

②工作量=工作效率×工作时间

2、设未知数的方法：设余下的工作需要x完成。（设时间）

3、相等关系：甲的工作量＋乙的工作量=总工作量（一般都看做单位1）

4、完成某项工程，甲单独做要20天，乙单独做需要15天，乙单独做5天后，两队合作，问合作几天后可以完成全部工程？解：设合作x天后可以完成全部工程一项工程，甲完成的工作量为        ，乙完成的工作量为          ， 可列方程为：                    。

16、销售问题

1、基本知识

①商品打折出售：是按标价的出售。②商品利润=商品售价－商品成本价。

③商品的利润率=。④商品的销售额=商品销售价×商品销售量。

⑤商品的销售利润=（销售价－成本价）×销售量。

2、相等关系：销售价=定价×打折-让利=成本×（1+利润率）

3、某服装店出售一种优惠卡，花200元买这种卡后，可凭卡在这家商店按8折购物。小芳购卡后买了一件原价1200元的西装，小敏购卡后买了一件原价500元的毛衣。则小芳买卡购物         划算，则小芳买卡购物          划算，在购买超过       元情况下买卡购物才划算。

17、方案选择问题

建模：

1、弄清两种方案收费表达式

2、求出消费多少时，两种方案收费一样（找出临界点）

3、得出在什么消费范围时方案一合算，在什么消费范围时方案二合算。

练习：下表中有两种移动电话计费方式。

（1）设一个月内用移动电话主叫t 分钟（t是正整数）。根据上表，列表说明:

当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费。

1、基础知识

2、相遇问题的相等关系是：甲的行程+乙的行程=甲乙出发前相距的总路程

3、小王从家门口的公交车站去火车站。如果坐公交车，他将会在火车开车后半小时到达车站；如果坐出租车，可以在火车开车前15分到达火车站。已知公交车的速度是45千米／时。出租车的速度是公交车的2倍，问小王的家到火车站有多远？

解法一：设出租车到火车站要x小时，则公交车到火车站要         小时。

列方程：                          

解法二:设小王的家到火车站的路程是xkm，根据时间等于路程÷速度，得他坐公交车到火车站要         小时，坐出租车到火车站要          小时，根据出租车到火车站所用的时间比公交车要少__ ______小时，可列方程：___________ _  ______。

19、追及问题

①

②追及问题的相等关系是：后面的行程=前面的行程＋甲乙出发前相距的路程

3、甲、乙两人相距100m，甲在前面以10m/s的速度匀速运动，乙在后面以12m/s的速度匀速运动，试问乙经多长时间追上甲？解：设乙经x秒追上甲，则甲的行程为           

乙的行程为           ，可列方程：___________ _  ______。

20、航行问题

1、速度关系：①=＋   ②=－   ③-=2

2、相等关系：顺流路程=逆流路程

3、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了

2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。解：船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流速度为            千米/时，逆流速度为          千米/时。

可列方程为                                        。

21、一元一次方程的根的情况

1、关于方程根的的讨论

①当时，方程有唯一解     ②当时，方程有无数解

③当时，方程无解

2、关于x的方程

①当               时，方程有唯一解； ②若，则方程            

③使方程有无数个解的条件是                        。