空间解析几何与向量代数复习题(答案)

一、选择题

1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量的模是（A ）

A          B         C 6           D  9

2. 设a=（1,-1,3）, b=（2,-1,2），求c=3a-2b是（ B ）

A  （-1,1,5）.       B  （-1,-1,5）.     C  （1,-1,5）.   D （-1,-1,6）.

3. 设a=（1,-1,3）, b=（2, 1,-2），求用标准基i, j, k表示向量c=a-b为（A ）

A  -i-2j+5k    B  -i-j+3k     C  -i-j+5k        D  -2i-j+5k

4. 求两平面和的夹角是（ C ）

A               B             C               D  

5. 已知空间三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求∠AMB是（ C）

A               B            C          D  

6. 求点到直线L：的距离是：（ A  ）

A           B         C          D  

7. 设求是：（   D  ）

A  -i-2j+5k    B  -i-j+3k     C  -i-j+5k        D  3i-3j+3k

8. 设⊿的顶点为，求三角形的面积是：（ A  ）

A            B           C              D 3

9. 求平行于轴，且过点和的平面方程是：（ D）

A  2x+3y=5=0          B  x-y+1=0    

C  x+y+1=0            D  ．

10、若非零向量满足关系式，则必有（ C  ）；

A ；　 B ；　 C  ；　 D   ．

11、设为非零向量，且, 则必有（ C  ）

A　             B　

C　              D　    

12、已知，则（ D  ）；

A ；　         B  5；　      C  3；　      D  ．

13、直线与平面的夹角为         （B ） 

A  ；　        B  ；　      C ；　      D ．

14、点在平面的投影为    （A ）

（A）；　 （B）； （C）；（D）．

15、向量与的数量积=（ C ）.

A   ；     B    ；  C   ； D    ．    

16、非零向量满足，则有（   C  ）．

A   ∥;    B   (为实数)； C   ； D   ．

17、设与为非零向量，则是（A   ）．

A   ∥的充要条件；          B   ⊥的充要条件;

  C     的充要条件；         D   ∥的必要但不充分的条件．

18、设，则向量在轴上的分向量是（B）．

A 7           B 7           C –1；           D -9

19、方程组   表示 （  B    ）.

A 椭球面；   B 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在平面上的投影.

20、方程 在空间直角坐标系下表示 （C   ）.

   A 坐标原点； B 坐标面的原点；C 轴；  D 坐标面.

21、设空间直线的对称式方程为 则该直线必（  A    ）.

A 过原点且垂直于轴；     B 过原点且垂直于轴；

C 过原点且垂直于轴；     D 过原点且平行于轴.

22、设空间三直线的方程分别为

,则必有（ D    ）.

A ∥；  B ∥；  C ；  D .

23、直线 与平面的关系为 (  A   )．

A  平行但直线不在平面上；        B   直线在平面上；

C  垂直相交；                                D   相交但不垂直．

24、已知,且, 则 = (  D  )．

A   1；       B  ；     C  2；        D  .

25、下列等式中正确的是(    C  )． 

A  ；         B  ；     C  ；      D  ．

26、曲面在平面上的截线方程为  (D)．

    A   ；      B  ；      C  ；     D  ．

二、计算题

1．已知，，求的模、方向余弦与方向角。

解：由题设知

 则

   ，，，

于是，，，。

2．设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量。

解：

    故在轴上的投影为13，在轴上的分向量为。

3．在坐标面上求一与已知向量垂直的向量。

解：设所求向量为，由题意，

取，得，故与垂直。当然任一不为零的数与的乘积也垂直。

4．求以，，为顶点的三角形的面积。

解：由向量积的定义，可知三角形的面积为，因为，，所以

，

于是， 

5．求与向量，都垂直的单位向量。

解：由向量积的定义可各，若，则同时垂直于和，且

，

因此，与平行的单位向量有两个：

和

6．求球面与平面的交线在面上的投影的方程。

解：由，得，代入，消去得，即，这就是通过球面与平面的交线，并且母线平行于轴的柱面方程，将它与联系，得：，即为所求的投影方程。

7、求过，和三点的平面方程。

解一：点法式：，，取

      ，

于是所求方程：。

解法二：用一般式，设所求平面方程为

        将已知三点的坐标分别代入方程得

解得    

，得平面方程：。

8．求平面与面的夹角余弦。

解：为此平面的法向量，设此平面与的夹角为，则

9．分别按下列条件求平面方程

(1)平行于面且经过点；

(2)通过轴和点；

(3)平行于轴且经过两点和。

解：(1)因为所求平面平行于面，故为其法向量，由点法式可得：

，

即所求平面的方程：。

(2)因所求平面通过轴，其方程可设为，已知点在此平面上，因而有，即，代入（*）式得：

，即所求平面的方程为：。

(3)从共面式入手，设为所求平面上的任一点，点和分别用，表示，则，，共面，从而，于是可得所求平面方程为：。

10．用对称式方程及参数式方程表示直线：。

解：因为直线的方向向量可设为，在直线上巧取一点（令，解直线的方程组即可得，），则直线的对称式方程为，参数方程为：，，。

11．求过点且与两平面和平行的直线方程。

解：因为两平面的法向量与不平行，所以两平面相交于一直线，此直线的方向向量，故所求直线方程为。

12．确定直线 和平面间的位置关系。

解：直线的方向向量

    平面的法向量

从而，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。

再将直线上的点的坐标代入平面方程左边，得，即不在平面上，故直线平行于平面。

13．求过点而与直线，平行的平面方程。

解：因为直线的方向向量，

       直线的方向向量。

   取 ，则通过点并以为法向量的平面方程即为所求的平面方程。

14、已知,问为何值时,向量与互相垂直．

解   由得，即 ，

将代入得：，

解得   ．

15、求两平行面与之间的距离．

解  在平面上取点，

则点M到平面的距离

即为所求：．

16、求过点且与两平面和的交线平行的直线方程．

解  设为所求直线的一个方向向量，由题意知与两个平面的法向量和同时垂直，故有

即          解得： ，即得 

故所求直线方程为  ．

17、一平面过点且平行向量和，试求这平面方程．

解   (从点法式入手)  由条件可取,

于是   ，

即  为所求平面方程．