高一数学函数的单调性和反函数人教版知识精讲

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

函数的单调性和反函数

二. 学习目标：

1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。

2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。

3. 理解反函数的概念。

4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。

5. 能熟练地求一些函数的反函数。

【例题讲解】

[例1] 证明函数在（0，）上是增函数。

证明：设、是（0，）上任意两个值，且

      由，则，即

      故在区间（0，）上是增函数。

[例2] 讨论函数的单调性，并加以证明，其中。

解： 

   （1）当时， 

  （2）当时， 

  （3）当时， 

  故函数分别在（，），（，1），（1，）为减函数。

[例3] 已知函数，当时是增函数，当时，且为减函数，判断函数在的单调性。

解：任取，且，则， 

    由为减函数，则有，即，且

    又由在上为增函数，故有

    即，所以函数在上为减函数

说明：已知和，则称为复合函数，复合函数单调性规律是：

（1）为增函数，为增函数，则为增函数。

（2）为增函数，为减函数，则为减函数。

（3）为减函数，为增函数，则为减函数。

（4）为减函数，为减函数，则为增函数。

[例4] 已知，求的单调区间。

解：令，则，由，知该函数在（，0）上是增函数，在（0，）上是减函数。

由，则在（，1）上是增函数，在（1，）上是减函数，而或， 

利用下表

[例5] 已知（）

（1）求的反函数，并求出反函数的定义域。

（2）判断并证明的单调性。

解：

（1）由得：   

     故，由，则，值域即的定义域为

（2）设，则，则

，即，故在上为单调递增函数。

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 若函数在（，）上是减函数，则（    ）

    A.    B.    C.    D. 

2. 函数在（，）上是（    ）

A. 增函数    B. 减函数    C. 有时增有时减    D. 无法判定

3. 函数是减函数的区间是（    ）

    A.    B.（，1）    C.（0，）    D. 

4. 设，若，则（    ）

A. 0    B.    C.    D. 

二. 解答题：

5. 证明函数在（，2）上是增函数。

6. 已知，求。

试题答案

一.

1. D    2. A    3. B    4. B

二.

5. 略    6.（）