平面向量应用举例练习题(含答案)

一、选择题

1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为(　　)

A．10N 　 　    B．0N 　 　C．5N 　 　    D.N

2．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)

A．10m/s　　    B．2m/s     C．4m/s          D．12m/s

3．(2010·山东日照一中)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为(　　)

A.              B．－                C.              D．－

4．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　)

A．lg2          B．lg5      C．1              D．2

5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)

A.              B. 

C.              D.                   

6．点P在平面上作匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)(　　)

A．(－2,4)          B．(－30,25)     C．(10，－5)      D．(5，－10)

7．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(　　)

A．a⊥e         B．a⊥(a－e)     C．e⊥(a－e)      D．(a＋e)⊥(a－e)

8．已知||＝1，||＝，⊥，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n，则＝(　　)

A.              B．3       C．3          D.

二、填空题

9．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．

10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2，则·＝________.

三、解答题

11．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.

求证：AD⊥CE.

12．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC.

13．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

14．一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？

15．在▱ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．

16．如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.

17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE.

平面向量应用举例参

1．[答案]　C

[解析]　根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5(N)．

2. [答案]　B

[解析]　设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.∴v2＝v－v1，v·v1＝0，

∴|v2|＝＝＝＝2.

3．[答案]　B

[解析]　因为|a|＝2，|b|＝3，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得cos〈a，b〉＝－1.即a，b为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以有3(x1，y1)＝－2(x2，y2)⇒x1＝－x2，y1＝－y2，所以＝＝－，从而选B.

4．[答案]　D

[解析]　W＝(F1＋F2)·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.

5．[答案]　C

[解析]　由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.

6．[答案]　C

[解析]　5秒后点P的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．

7[答案]　C[解析]　由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，

∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.

即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．

8．[答案]　B

[解析]　∵·＝m||2＋n·＝m，

·＝m·＋n·||2＝3n，∴＝＝1，∴＝3.

二、填空题

9． [答案]　λ>－且λ≠0

[解析]　∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，

∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.当a与a＋λb同向时，a＋λb＝ma(m>0)，即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．

∴，得，∴λ>－且λ≠0.

10． [答案]　－2

[解析]　∵|AB|＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°.

∴·＝||·||·cos120°＝－2.

三、解答题

11．[证明]　以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.

∴＝，＝.

∵·＝－a·a＋·a＝0，∴AD⊥CE.

12． [证明]　如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)

设＝λ，

则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又＝(－1,2)

由题设⊥，∴·＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.

∴＝，∴＝－＝，又＝(1,0)，

∴cos∠ADB＝＝，cos∠FDC＝＝，

又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.

13．[解析]　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2，|－|＝4.

故所求的两条对角线长分别为4和2.

(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．

由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.

14． [解析]　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，

||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°.∴||＝＝2，

sin∠EAD＝，∴∠EAD＝30°，用时0.5h.

答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．

15．

[证明]　＝－.

因为＝，＝＝(＋)，所以＝＋－，

＝－.  由于＝－＝－，

可知＝3，即∥.又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线．

16

[分析]　本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出和的坐标，证明其模相等即可．

[证明]　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为

a，则A(0，a)．设||＝λ(λ>0)，则F，P，E，

所以＝，＝，

因为||2＝λ2－aλ＋a2，||2＝λ2－aλ＋a2，所以||＝||，

即PA＝EF.

17．

[证明]　∵AB＝AC，且D是BC的中点，

∴⊥，∴·＝0.又⊥，∴·＝0.

∵＝，F是DE的中点，∴＝－.

∴·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·

＝·＋·＋·

＝(＋)·＋·＋·

＝·＋·＋·＋·

＝·－·－·

＝·－·

＝·(－)＝·＝0.

∴⊥，∴AF⊥BE.