平行四边形与特殊平行四边形专题复习

　　本专题的热点有：平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定，以及通过添加适当的辅助线把它转化为三角形全等来解决的数学化归思想．注重考查同学们的动手操作、观察、猜想、探究等活动的能力以及对知识的理解能力等．

　　一、平行四边形的性质与判定

　　例1　如图1，四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是______（添加一个条件即可）．

　　析解：根据判定定理和已知条件可知应添加的条件为AB∥CD或AD=BC等．

　　例2　如图2，□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（　　）．

　　A．6cm　B．12cm　C．4cm　D．8cm

　　析解：本题考查同学们结合图形运用“周长”知识及平行四边形性质解决问题的能力．因为平行四边形ABCD的周长是28cm，所以AB＋BC＝14，又因为△ABC周长是22cm，故AC＝22－14＝8（cm），故选D．

　　二、特殊平行四边形的性质与判定

　　例3　如图3，将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为______．

　　析解：根据题意将△ABE折叠到△AFE的位置后，△AFE≌△ABE．根据全等的性质有AF＝AB，EF＝EB，又因为△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，所以AD＋AF＋DF＝9，FC＋CE＋EF＝3，所以AD＋AF＋DF＋FC＋CE＋EF＝12，因为AF＝AB，DF＋FC＝DC，CE＋EF＝CE＋EB＝BC，所以AD＋AB＋DC＋BC＝12，即矩形的周长为12．

　　例4　如图4，在四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．

　　（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；

　　（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗，为什么？

　　（3）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．

　　分析：因为点E，F在四边形ABCD的对角线上，

　　所以在判定四边形ABCD是否为平行四边形时，可利用与对角线有关的定理进行推理．

　　解：（1）连接AC交BD于点O，

　　因为四边形AECF是平行四边形，

　　所以AO＝CO，EO＝FO．

　　因为BE=DF，所以BE＋EO＝DF＋FO．

　　所以BO＝DO．所以四边形ABCD是平行四边形．

　　（2）答：四边形ABCD是菱形．

　　证明：连接AC交BD于点O，

　　因为四边形AECF是菱形，所以AC⊥BD．

　　由（1）得四边形ABCD是平行四边形．

　　所以四边形ABCD是菱形．

　　（3）答：四边形ABCD不是矩形．

　　专题训练：

　　1．对角线互相垂直、平分的四边形一定是（　　）．

　　A．矩形　B．菱形　C．等腰梯形　D．直角梯形

　　2．如图5，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（　　）．

　　A．2和3　B．3和2　C．4和1　D．1和4

　　3．如图6所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列式子中一定成立的是（　　）．

　　A．AC∥BD　B．OA＝OC　C．AC＝BD　D．AO＝OD

　　4．把一张长方形的纸片按如图7所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在MB′或MB′的延长线上，那么∠EMF的度数是（　　）．

　　A．85°    　B．90°　  　C．95°    　D．100°

　　5．如图8所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需要增加的一个条件是______．

　　6．在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB＝CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件可推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是______．（写四个条件的不得分，只填序号）

　　7．如图9，已知菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______．

　　8．如图10，□ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．

　　（1）求证：△ABC≌△EAD．

　　（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

　　9．如图11，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AF⊥BD，CE⊥BD，垂足分别为F，E，

　　（1）连接AE，CF，得四边形AFCE，试判断四边形AFCE是下列图形中的哪一种？

　　①平行四边形；②菱形；③矩形

　　（2）请证明你的结论．

专题训练参：

1．B  2．B  3．B  4．B

5．答案不惟一，如∠BAD=90°或AC=BD等

6．①③④或②③④    7．16

8．（1）证明：因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AD∥BC，AD＝BC，∠DAE＝∠AEB．

因为AB＝AE，所以∠AEB＝∠B．所以∠B＝∠DAE．

所以△ABC≌△EAD．

（2）解：因为∠DAE＝∠BAE，∠DAE＝AEB，

所以∠BAE＝∠AEB＝∠B．

所以△ABE为等边三角形．所以∠BAE＝60°．

因为∠EAC＝25°，所以∠BAC＝85°．

因为△ABC≌△EAD，所以∠AED＝∠BAC＝85°．

9．（1）平行四边形；

（2）证明：因为AF⊥BD，CE⊥BD，

所以∠AFO＝∠CEO＝90°，

因为四边形ABCD为平行四边形，所以OA＝OC，

又因为∠AOF＝∠COE，所以△AOF≌△COE．

所以OF＝OE，

所以，四边形AFCE为平行四边形．