贵州省贵阳市第一中学2022届高三高考适应性月考(六)数学(理)试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

【1题答案】

B

由绝对值不等式及一元二次不等式的解法求出集合和，然后根据交集的定义即可求解.

解：由题意，集合，或，

所以，故选：B.

2. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在第（    ）象限.

A. 一    B. 二    C. 三    D. 四

【2题答案】

C

根据欧拉公式得到复数的代数形式，进而判断出复平面上所对应的点所在象限.

根据题意，故其在复平面内对应的点的坐标为在第三象限，故选：C.

3. 正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（     ）

A.     B.     C.     D. 

【3题答案】

D

画出直观图，由此计算出直观图的面积.

原图中：设是的中点，则，.

直观图中：，，

所以.

故选：D

4. 辛亥发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以此纪年法恰好六十年一循环.那么下列干支纪年法纪年错误项是 （   ）

A. 庚子年    B. 丙卯年    C. 癸亥年    D. 戊申年

【4题答案】

B

根据干支纪年法的规则判断．

干支纪年法中年份相当于第一排把10个天干按顺序排列6次（共60个），第二排把12个地支排列5次（共60个），然后上下组合成一个年份．所有年份如下表所示：

1-10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉

11-20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰辛巳 壬午 癸未

21-30 甲申 乙酉 丙戌 丁亥 戊子 己丑 庚寅辛卯 壬辰 癸巳

31-40甲午乙未 丙申 丁酉 戊戌 己亥 庚子 辛丑 壬寅 癸卯

41-50甲辰 乙巳 丙午 丁未 戊申 己酉 庚戌 辛亥 壬子 癸丑

51-60甲寅 乙卯 丙辰 丁巳 戊午 己未 庚申 辛酉 壬戌 癸亥

故B错误，故选：B．

5. 已知向量，则下列说法错误的个数是（    ）

① 若，则的值为-2；② 的最小值为1；③ 若，则的值为2；④ 若与的夹角为钝角，则的取值范围是

A. 0个    B. 1个    C. 2个    D. 3个

【5题答案】

D

根据给定条件，结合向量数量积的坐标运算逐一分析、计算每一个命题即可判断作答.

对于①，若，则，解得，①错；

对于②，，②错；

对于③，由，得，解得，③正确；

对于④，因与的夹角为钝角，则，解得，又与不共线，即，解得，

因此，的取值范围是且，④错，

所以说法错误的个数是3.故选：D

6. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为（    ）

A.     B.     C. 2    D. 4

【6题答案】

D

由条件得，由基本不等式得，再由可求解.

∵，又∵，.

∴（当且仅当时取等号）.

∴

，

∴面积的最大值为4.故选：D

7. 已知数列的首项为10，且满足，其前项和为，则满足不等式的的最小正整数值为（    ）

A. 9    B. 10    C. 11    D. 12

【7题答案】

C

根据给定条件求出数列的通项公式，再求出，借助解不等式作答.

依题意，由，即，得，而，

则数列是以8为首项，为公比的等比数列，有，，

于是得：，由，得， 

即，整理得：，，解得，

所以的最小正整数值为11.故选：C

8. 点为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最大值为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【8题答案】

B

设出点的坐标，写出对应向量的坐标，利用的范围，即可求得结果.

设，则，

故选：B.

9. 已知是（为正奇数）被3除的余数，则的值为（    ）

    B.     C.     D. 

【9题答案】

A

先逆用二项式定理化简，再将底数改为N)的形式，用二项式定理展开可得a，然后由微积分基本定理可得.

因为，而，因为为正奇数，所以，故余数为1，即，

所以

.故选：A.

10. 若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，当时，恒有；则称函数为“函数”.若“函数”满足，则锐角的取值范围为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【10题答案】

A

由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.

解：由得函数是上的增函数，

又由，即，

由题设：，∴，即有，

∴，即，∵为锐角，则，∴，则的取值范围是，故选：A.

关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.

11. 已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为(    )

A. 4    B. 12    C. 8    D. 6

【11题答案】

C

设正方体内切球的球心为，则，，将问题转化为求的最大值.

设正方体内切球的球心为，则，，

∴＝，

又点在正方体表面上运动，∴当为正方体顶点时，最大，且最大值为正方体体对角线的一半，，∴的最大值为.故选：C.

12. 已知，，设，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

【12题答案】

A

先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断的大小，再根据对数的性质和基本不等式可判断的大小关系，从而可得正确的选项.

由已知，

∵，

∴，

∵，∴，即，

∵，∴，即，∴，综上.故选：A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量的期望为_________.

【13题答案】

##

由题意，分别求出的可能取值为1，2，3的概率后，再用数学期望公式计算即可.

随机变量的可能取值为1，2，3，

，，，

∴.

故答案为：

14. 若，则__________.

【14题答案】

2

利用差角正弦公式变形，结合诱导公式、弦化切即可计算作答.

依题意，，

整理得：，所以.

故答案为：2

15. 在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是.则的大小关系为___________.

【15题答案】

利用古典概型求概率的方法分别求出，比较出大小.

如图所示，连接长方体四个顶点，可得鳖臑.（1）从鳖臑的六条棱中任取两条，有种取法，其中互相垂直的取法有5种：，，，，，所以.

（2）从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上）有4×3=12种取法，它们互相垂直的取法有2种：平面，平面，所以.

（3）从鳖臑的四个面中任取两个面，有种取法，它们互相垂直的取法有3种：平面平面，平面平面，平面平面，所以，故.

故答案：

16. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于点），则下列四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面.其中说法正确的序号有_______.

【16题答案】

①④

对于①，根据点到面的距离及底面的面积不变可判断；对于②，根据面面平行可判断；对于③，假设成立，再得到矛盾，从而可知不正确；对于④，由线面垂直证明面面垂直.

对于①：如图，

由正方体知，且，

∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，

∴平面，又∵点在线段上运动，

∴ 点到平面的距离为定值，又∵的面积为定值，

∴三棱锥的体积不变，∴三棱锥的体积不变，故①正确；

对于②：连接，且相等，由①知：，

,且平面，,且平面，

∴平面平面，又平面，

从而由面面平行的性质可得平面，故②错误；

对于③，如图，连接,.

由于平面，∴，若，则平面，，则为中点，与为动点矛盾，故③错误；

对于④：如图，

连接，,,由对角面知，由对角面知，由此可得平面，又平面，从而平面平面，故④正确.

故答案为：①④

三、解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 国家“双减”落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)；

（2）通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为，求的分布列及均值.

【17~18题答案】

（1）150，151，150.9；    

（2）分布列见解析，.

(1)频率分布直方图中众数为最高的小矩形的中间值，平均数为每一组中间值与小矩形面积乘积的和；中位数左侧和右侧的小矩形面积均为0.5.

(2)根据超几何分布的概率计算方法计算分布列，根据均值的方法计算均值即可.

【小问1详解】

众数：150；

第1到5组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，

平均数：，

设中位数为，则中位数在第3组，则，；

【小问2详解】

用分层随机抽样抽取8份问卷，其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份，

∴的可能取值为0，1，2，

∴，，，

∴的分布列为：

18. 如图甲，等腰梯形中，，于点，且，将梯形沿着翻折，如图乙，使得到点，且.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

【18~19题答案】

（1）    

（2）

(1) 作于点，先证明PM垂直于平面BCDE，即为直线与平面所成角，然后计算可得；

(2)作交于点，以MB、MN、MP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，用向量法可得.

【小问1详解】

如图，

作于点，

∵，平面PBE，平面PBE，

∴平面，

∴，

又∵，平面BCDE，平面BCDE，

∴平面，

∴为与平面所成角，

设，则，，

因为

所以，

所以.

【小问2详解】

如图，

过作交于点，

∴.

由（1）知，平面，易知MB、MN、MP两两垂直，

如图建立空间直角坐标系，

为直角三角形，且，所以，所以

得所以，

∴为的中点，

∴.

所以

设平面的法向量为，

∴，

令，∴，∴，

设平面的法向量为，

由，取，得

∴.

由图知，二面角为钝二面角，

∴二面角的平面角的余弦角为.

19. 已知数列满足，且,是的前项和.

（1）求；

（2）若为数列的前项和，求证：.

【19~20题答案】

（1）    

（2）证明见解析

(1)先用累加法求通项公式，再由裂项相消法可得；

(2)由(1)可得的通项公式为，放缩得，再由裂项相消法可证.

【小问1详解】

∵，

∴，，…

由上述个等式相加得

∴，

∴，

.

【小问2详解】

令，

∴，

又因，且

∴，

综上，，得证.

20. 如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线左、右焦点，双曲线离心率为，若点为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于点，点为线段的中点，延长，分别与双曲线交于两点.

（1）若，求证：；

（2）若直线的斜率都存在，且依次设为.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.

【20~21题答案】

（1）证明见解析    

（2）为定值，7

（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；

（2）设直线的方程为，与双曲线联立得，同理得，由斜率公式及（1）中的结论可得结论.

【小问1详解】

证明：

由双曲线离心率，，及，

可得，所以双曲线方程为，.

当直线的斜率不存在时，

，，

直线的斜率存在时，，，

整理得，

综上所述，成立；

【小问2详解】

依题意可知直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为，

代入双曲线并化简得：

，①

由于，

则代入①并化简得：

，

设，则，，

代入，

得，

即，同理可得，

所以

，

所以是定值.

21. 已知函数.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）若使得在上恒成立，求实数的取值范围.

【21~22题答案】

（1）；    

（2）.

（1）令并求出其导函数，再由给定的单调性建立关系求解作答.

（2）由已知确定m值，转化为探讨不等式在上恒成立，再构造函数推理作答.

【小问1详解】

依题意，令，即函数在上单调递增，

则，成立，即在上恒成立，

而函数在上单调递减，有，则，

所以的取值范围是：.

【小问2详解】

依题意，，，

则当时，，而，于是得，，，

当时，在时，，，有，不符合题意，

当时，令，，，

令，，显然函数在上单调递减，

当时，，当且仅当时取“=”，

即，，则在上单调递减，，

即不等式在上恒成立，因此，，

当时，因，，在上递减，

则存在唯一，使得，且当时，，即有，

从而得在上单调递增，则当时，，即，不符合题意，

综上得：，

所以实数的取值范围是.

思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.

四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22. 在平面直角坐标系中，直线的方程为为参数，曲线经过伸缩变换后得到曲线.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）设射线与直线和曲线分别交于点，求的最大值.

【22~23题答案】

（1），；    

（2）.

（1）通过加法消元求得直线的普通方程，再利用求得其极坐标方程；对曲线通过变换，即可容易求得其直角坐标方程；

（2）求得曲线的极坐标方程，联立与直线和曲线的极坐标方程，求得，将目标式转化为关于的三角函数，求其最值即可.

【小问1详解】

对直线的参数方程，两式相加可得，且，

由，得，

又对曲线，经过变换，

则，即，

所以直线的极坐标方程为，曲线的普通方程为.

【小问2详解】

直线极坐标方程整理得，即，

曲线变形得，

即，，

由题可知，，

则

当且仅当，即，，

当时，的最大值为.

【选修4-5：不等式选讲】

23. 已知x，y，z均为实数.

（1）求证：1＋2x4≥2x3＋x2；

（2）若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.

【23~24题答案】

（1）证明见解析    

（2）

（1）利用作差法推出表达式的值为非负，即可证明结果；

（2）由柯西不等式，转化求解有最小值即可．

【小问1详解】

，

所以；

【小问2详解】

因为（由柯西不等式得）

所以，

当且仅当即时，有最小值．