上海市2021年中考数学真题及答案

一、选择题

1. 下列实数中，有理数是（    ）

A.    

【答案】C

【解析】

【分析】先化简二次根式，再根据有理数定义选择即可

【详解】解：

A、∵是无理数，故是无理数

B、∵是无理数，故是无理数

C、为有理数

D、∵是无理数，故是无理数

故选：C

2. 下列单项式中，同类项是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项

【详解】∵a的指数是3，b的指数是2，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，

∴不是的同类项，不符合题意；

∵a的指数是2，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3一致，

∴是的同类项，符合题意；

∵a的指数是2，b的指数是1，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，

∴不是的同类项，不符合题意；

∵a的指数是1，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，

∴不是的同类项，不符合题意；

故选B

3. 将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（    ）

A. 开口方向不变    B. 对称轴不变    C. y随x的变化情况不变    D. 与y轴的交点不变

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．

【详解】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变

故选D．

4. 商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（    ）

A. /包    B. /包    C. /包    D. /包

【答案】A

【解析】

【分析】选择人数最多的包装是最合适的．

【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，

∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．

故选：A．

5. 如图，已知平行四边形ABCD中，，E为中点，求（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解．

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，E为中点，

∴

故选A．

6. 如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（    ）

A. 点C在圆A外，点D在圆A内    B. 点C在圆A外，点D在圆A外

C. 点C在圆A上，点D在圆A内    D. 点C在圆A内，点D在圆A外

【答案】C

【解析】

【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可

【详解】

∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1

∴圆A的半径为5

∵<5

∴点D在圆A内

在Rt△ABC中，

∴点C在圆A上

故选：C

二、填空题

7. 计算：_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可

【详解】∵,

故答案为: ．

8. 已知，那么__________．

【答案】．

【解析】

【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案．

【详解】解：∵，

∴，

故答案为：．

9. 已知，则___________．

【答案】5

【解析】

【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解．

【详解】解：，

两边同平方，得，

解得：x=5，

经检验，x=5是方程的解，

∴x=5，

故答案是：5．

10. 不等式的解集是_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可求解．

【详解】

故答案为：．

11. 的余角是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据余角的定义即可求解．

【详解】的余角是90°-=

故答案为：．

12. 若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．

【详解】解：关于x的一元二次方程无解，

∵，，，

∴，

解得，

∴的取值范围是．

故答案为：．

13. 有数据，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据概率公式计算即可

【详解】根据概率公式，得偶数的概率为，

故答案为：．

14. 已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________．

【答案】（且即可）

【解析】

【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．

【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限，

∴k<0，

当经过时，k=-1，

由题意函数不经过，说明k≠-1，

故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)．

15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚___________元．

【答案】

【解析】

【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润．

【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为，将（5，4k），（10，k）代入关系式：

 ，解得 

 ∴

令，则 

 ∴利润=

16. 如图，已知，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可

【详解】解：作AE⊥BC，CF⊥BD

∵

∴△ABD和△BCD等高，高均为AE

 ∴

∵AD∥BC

∴△AOD∽△COB

∴

∵△BOC和△DOC等高，高均为CF

∴

∴

故答案为：

17. 六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．

【答案】．

【解析】

【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．

【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，

在正六边形ABCDEF中，

∵直角三角板的最短边为1，

∴正六边形ABCDEF为1，

∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，

∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，

∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，

∴BG=DI= FH=，

∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，

∴AC =AE = CE =，

∴由勾股定理得：AI=，

∴S=，

故答案为：．

18. 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．

【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．

∴点O与正方形边上的所有点的连线中，

最小，等于1，最大，等于．

∵，

∴点P与正方形边上的所有点的连线中，

如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；

如图3所示，当点A落在上时，最小值．

∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．

故答案为：

三、解答题

19. 计算：

【答案】2

【解析】

【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可．

【详解】解：，

=，

=，

=2．

20. 解方程组：

【答案】和

【解析】

【分析】由第一个方程得到，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出，再回代第一个方程中即可求出．

【详解】解：由题意：，

由方程(1)得到：，再代入方程(2)中：

得到：，

进一步整理为：或，

解得，，

再回代方程(1)中，解得对应的，，

故方程组的解为：和．

21. 已知在中，，，为边上的中线．

（1）求长；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；

（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．

【详解】（1）∵，

∴

∴AB=10

∴=；

（2）过点F作FG⊥BD，

∵为边上的中线．

∴F是AD中点

∵FG⊥BD，

∴

∴FG是△ACD的中位线

∴FG=3

CG=

∴在Rt△BFG中，=．

22. 现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如下图．

（1）求三月份共生产了多少部手机?

（2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度．

【答案】（1）36万部；（2）100/秒

【解析】

【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数；

（2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒，根据下载一部的电影，比要快190秒列方程求解．

【详解】（1）3月份的百分比=

三月份共生产手机数=（万部）

答：三月份共生产了36万部手机．

（2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒，

由题意可知： 

解得：

检验：当时，

∴是原分式方程的解．

答：手机的下载速度为100/秒．

23. 已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．

（1）求证：；

（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;

（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．

【详解】证明：（1）连结，

∵M、N分别是和的中点，

∴OM，ON为弦心距，

∴OM⊥BC，ON⊥AD，

，

在中，， 

，

在Rt△OMG和Rt△ONG中，

，

，

∴，

;

（2）设OG交MN于E，

，

∴，

∴，即，

，

在△CMN和△ANM中

，

，

，

∵CN∥OG，

，

，

，

∴AM∥CN，

是平行四边形，

，

∴四边形ACNM是矩形．

24. 已知抛物线过点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．

①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；

②若C落在抛物线上，求C的坐标．

【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是

【解析】

【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;

（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.

【详解】解：（1）将两点分别代入，得

解得．

所以抛物线的解析式是．

（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，

作于H．

∵是等腰直角三角形，

∴和也是等腰直角三角形，

∴，

∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．

②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得

解得

∴直线的解析式为，

设，

∴，

所以．

所以．

将点代入，

得．

整理，得．

因式分解，得．

解得，或（与点P重合，舍去）．

当时，．

所以点C的坐标是．

25. 如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．

（1）当点E在边上时，

①求证：；

②若，求的值；

（2）若，求的长．

【答案】（1）①见解析；②；（2）或

【解析】

【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得；

②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值．

（2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可．

②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．

【详解】（1）①由，得．

由，得．

因为是斜边上的中线，所以．所以．

所以．

所以．

②若，那么在中，由．可得．

作于H．设，那么．

在中，，所以．

所以．

所以．

（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，

所以四边形是平行四边形．

又因为，所以四边形是矩形，

设，已知，所以．

已知，所以．

在和中，根据，列方程．

解得，或（ 舍去负值）．

②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．

设，已知，那么．

一方面，由，得，所以，所以，

另一方面，由是公共角，得．

所以，所以．

等量代换，得．由，得．

将代入，整理，得．

解得，或（舍去负值）．