2018年华侨、港澳、台联考高考数学试卷

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，B={2，4，5}，则（∁UA）∩B=（　　）

A．{4，5}    B．{1，2，3，4，5，6}    

C．{2，4，5}    D．{3，4，5}

2．（5分）要得到y=cosx，则要将y=sinx（　　）

A．向左平移π个单位    B．向右平移π个单位    

C．向左平移个单位    D．向右平移个单位

3．（5分）设z=﹣+i，则z2+z=（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

4．（5分）若函数f（x）=ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y=2x+1，则a=（　　）

A．﹣1    B．0    C．    D．1

5．（5分）已知α为第二象限的角，且tanα=﹣，则sinα+cosα=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．﹣    D．

6．（5分）已知a+b＞0，则（　　）

A．2a＜（）b    B．2a＞（）b    C．2a＜2b    D．2a＞2b

7．（5分）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（5分）f（x）=ln（x2﹣3x+2）的递增区间是（　　）

A．（﹣∞，1）    B．（1，）    C．（，+∞）    D．（2，+∞）

9．（5分）已知椭圆+=1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e=（　　）

A．    B．    C．    D．

10．（5分）过抛物线y2=2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则•=（　　）

A．    B．    C．﹣    D．﹣

11．（5分）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12=（　　）

A．8    B．6    C．4    D．2

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分.

13．（5分）坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为　   　．

14．（5分）已知三棱锥O﹣ABC的体积为1，A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥O﹣A1B1C1的体积为　   　．

15．（5分）多项式（1+x）3+（1+x）4中x2的系数为　   　．（用数字填写答案）

16．（5分）过点（2，﹣3，1）且与平面x﹣y+3z﹣5=0和x+2y﹣3z=0都垂直的平面方程为　   　．

17．（5分）关于x的多项式x3+x2+ax+1被x+2除的余式和被x﹣2除的余式相等，则a=　   　．

18．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=AD=4，AA1=8，E、F、G为AB、A1B1、DD1的中点，H为A1D1上一点，则A1H=1，求异面直线FH与EG所成角的余弦值　   　．

三、解答题：本大题共4小题，每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19．（15分）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．

（1）证明a2+b2﹣c2=ab；

（2）求角C和边c．

20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，an＞0，an+1•（Sn+1+Sn）=2．

（1）求Sn；

（2）求++…+．

21．（15分）双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．

（1）求C的轨迹方程；

（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．

22．（15分）x1、x2∈R，f（0）≠0，且f（2x1）+f（2x2）=f（x1+x2）•f（x1﹣x2）．

（1）求f（0）；

（2）求证f（x）为偶函数；

（3）若f（π）=0，求证f（x）为周期函数．

2018年华侨、港澳、台联考高考数学试卷

参与试题解析

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，B={2，4，5}，则（∁UA）∩B=（　　）

A．{4，5}    B．{1，2，3，4，5，6}    

C．{2，4，5}    D．{3，4，5}

【分析】由全集U，集合A可求出∁UA，再由交集运算性质得答案．

【解答】解：由全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，

得∁UA={3，4，5}，B={2，4，5}，

则（∁UA）∩B={3，4，5}∩{2，4，5}={4，5}．

故选：A．

【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．

2．（5分）要得到y=cosx，则要将y=sinx（　　）

A．向左平移π个单位    B．向右平移π个单位    

C．向左平移个单位    D．向右平移个单位

【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，得出结论．

【解答】解：要将y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）=cosx的图象，

故选：C．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，属于基础题．

3．（5分）设z=﹣+i，则z2+z=（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

【分析】直接把z代入z2+z，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：由z=﹣+i，

得z2+z==．

故选：A．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

4．（5分）若函数f（x）=ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y=2x+1，则a=（　　）

A．﹣1    B．0    C．    D．1

【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，再由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值．

【解答】解：函数f（x）=ax2+1的导数为f′（x）=2ax，

可得点（1，f（1））处的切线斜率为2a，

由点（1，f（1））处的切线平行于直线y=2x+1，

可得2a=2，

解得a=1，

故选：D．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用两直线平行的条件和方程思想，属于基础题．

5．（5分）已知α为第二象限的角，且tanα=﹣，则sinα+cosα=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．﹣    D．

【分析】由tanα==﹣，①，sin2α+cos2α=1，②，联立①②，再结合已知条件即可求出sinα，cosα的值，则答案可求．

【解答】解：tanα==﹣，①，sin2α+cos2α=1，②，

又α为第二象限的角，

∴sinα＞0，cosα＜0，

联立①②，解得，，

则sinα+cosα=．

故选：C．

【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系，是基础题．

6．（5分）已知a+b＞0，则（　　）

A．2a＜（）b    B．2a＞（）b    C．2a＜2b    D．2a＞2b

【分析】由题意及选项，构造函数，借助函数单调性，得到选项．

【解答】解：构造函数f（x）=2x，f（x）是增函数，

∵a+b＞0

∴a＞﹣b

即f（a）＞f（﹣b）

则2a＞2﹣b

故选：B．

【点评】本题考查构造函数和函数单调性，属于基础题．

7．（5分）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】基本事件总数n==120，甲不在两端包含的基本事件个数m=3A=72，由此能求出甲不在两端的概率．

【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊站成一排，基本事件总数n==120，

甲不在两端包含的基本事件个数m=3A=72，

∴甲不在两端的概率p==．

故选：B．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

8．（5分）f（x）=ln（x2﹣3x+2）的递增区间是（　　）

A．（﹣∞，1）    B．（1，）    C．（，+∞）    D．（2，+∞）

【分析】令t=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=lnt，本题即求函数t在定义域内的增区间，结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间．

【解答】解：令t=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）＞0，求得x＜1或x＞2，

故函数的定义域为{x|x＜1或x＞2 }，f（x）=lnt，

本题即求函数t在定义域内的增区间．

结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为（2，+∞），

故选：D．

【点评】本题主要考查二次函数、对数函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．

9．（5分）已知椭圆+=1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e=（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】将点代入可得方程组，解得a=5，b=1，根据离心率公式即可求出．

【解答】解：椭圆+=1过点（﹣4，）和（3，﹣），

则，解得a=5，b=1，

∴c2=a2﹣b2=24，

∴c=2，

∴e==，

故选：A．

【点评】本题考查了椭圆的简单性质，以及离心率公式，属于基础题．

10．（5分）过抛物线y2=2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则•=（　　）

A．    B．    C．﹣    D．﹣

【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x轴的直线方程，将直线方程代入y2=2x求得y的值，即可求出•．

【解答】解：y2=2x的焦点坐标是（，0），

则过焦点且垂直x轴的直线是x=，代入y2=2x得y=±1，

故•=（，1）•（）=﹣1=﹣．

故选：D．

【点评】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．

11．（5分）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到相邻两侧面所成二面角的余弦值．

【解答】解：取CD的中点E，连接AE，BE，如下图所示：

设四面体的棱长为2，则AE=BE=，

且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，

在△ABE中，cos∠AEB==

故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是．

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．

12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12=（　　）

A．8    B．6    C．4    D．2

【分析】由等比数列的性质得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，由此能求出a9+a10+a11+a12的值．

【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，

由等比数列的性质得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，

∴1，3﹣1=2，S12﹣S8=a9+a10+a11+a12成等比数列，

∴a9+a10+a11+a12=4．

故选：C．

【点评】本题考查等比数列的四项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分.

13．（5分）坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为　（6，﹣6）　．

【分析】设坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为（a，b），利用中点坐标公式、直线与直线垂直的性质列出方程组，能求出结果．

【解答】解：设坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为（a，b），

则，

解得a=6，b=﹣6，

∴坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为（6，﹣6）．

故答案为：（6，﹣6）．

【点评】本题考查点关于直线对称的点的坐标的求法，考查中点坐标公式、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

14．（5分）已知三棱锥O﹣ABC的体积为1，A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥O﹣A1B1C1的体积为　　．

【分析】由A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，可得△A1B1C1∽△ABC，则，过O作OG⊥平面ABC，交平面A1B1C1于G1，则，再由棱锥的体积公式计算得答案．

【解答】解：如图，

∵A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，

∴△A1B1C1∽△ABC，则，

过O作OG⊥平面ABC，交平面A1B1C1于G1，则．

∴=

=．

故答案为：．

【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

15．（5分）多项式（1+x）3+（1+x）4中x2的系数为　9　．（用数字填写答案）

【分析】把（1+x）3和（1+x）4中x2的系数相加，既得所求．

【解答】解：多项式（1+x）3+（1+x）4中x2的系数，即为（1+x）3和（1+x）4中x2的系数之和，

为+=9，

故答案为：9．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题

16．（5分）过点（2，﹣3，1）且与平面x﹣y+3z﹣5=0和x+2y﹣3z=0都垂直的平面方程为　x﹣2y﹣z﹣7=0　．

【分析】平面x﹣y+3z﹣5=0的法向量为=（1，﹣1，3），平面x+2y﹣3z=0的法向量为=（1，2，﹣3），设与与平面x﹣y+3z﹣5=0和x+2y﹣3z=0都垂直的平面方程的法向量为=（x，y，z），列方程组求出=（1，﹣2，﹣1），再由与平面x﹣y+3z﹣5=0和x+2y﹣3z=0都垂直的平面方程过点（2，﹣3，1），能求出结果．

【解答】解：平面x﹣y+3z﹣5=0的法向量为=（1，﹣1，3），

平面x+2y﹣3z=0的法向量为=（1，2，﹣3），

设与与平面x﹣y+3z﹣5=0和x+2y﹣3z=0都垂直的平面方程的法向量为=（x，y，z），

则，

取x=1，得=（1，﹣2，﹣1），

∵与平面x﹣y+3z﹣5=0和x+2y﹣3z=0都垂直的平面方程过点（2，﹣3，1）

∴所求平面的方程为x﹣2y﹣z﹣7=0．

故答案为：x﹣2y﹣z﹣7=0．

【点评】本题考查平面方程的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．

17．（5分）关于x的多项式x3+x2+ax+1被x+2除的余式和被x﹣2除的余式相等，则a=　﹣4　．

【分析】设f（x）=x3+x2+ax+1，由多项式除法的余数定理，可得f（﹣2）=f（2），解方程可得a的值．

【解答】解：设f（x）=x3+x2+ax+1，

由多项式除法的余数定理，可得f（﹣2）=f（2），

即为﹣8+4﹣2a+1=8+4+2a+1，

解得a=﹣4．

故答案为：﹣4．

【点评】本题考查多项式除法的余数定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

18．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=AD=4，AA1=8，E、F、G为AB、A1B1、DD1的中点，H为A1D1上一点，则A1H=1，求异面直线FH与EG所成角的余弦值　　．

【分析】建立空间间直角坐标系，用向量分别表示两条直线，利用向量夹角公式能求出异面直线FH与EG所成角的余弦值．

【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=AD=4，AA1=8，

E、F、G为AB、A1B1、DD1的中点，

H为A1D1上一点，则A1H=1，

∴以D为原点，DA为x国，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

F（4，2，8），H（3，0，8），E（4，2，0），

G（0，0，4），

=（﹣1，﹣2，0），=（﹣4，﹣2，4），

设异面直线FH与EG所成角为θ，

则cosθ===．

故答案为：．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

三、解答题：本大题共4小题，每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19．（15分）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．

（1）证明a2+b2﹣c2=ab；

（2）求角C和边c．

【分析】（1）由正弦定理得sinA=，sinB=，sinC=，由2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，得2（）=（a﹣b）•，由此能证明a2+b2﹣c2=ab．

（2）求出cosC===，由此能求出角C和边c．

【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，

∴由正弦定理得：=2R=2，

∴sinA=，sinB=，sinC=，

∵2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，

∴2（）=（a﹣b）•，

化简，得：a2+b2﹣c2=ab，

故a2+b2﹣c2=ab．

解：（2）∵a2+b2﹣c2=ab，

∴cosC===，

解得C=，

∴c=2sinC=2•=．

【点评】本题考查三角形三边等量关系的证明，考查三角形的角和边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．

20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，an＞0，an+1•（Sn+1+Sn）=2．

（1）求Sn；

（2）求++…+．

【分析】（1）由数列递推式可得（Sn+1﹣Sn）（Sn+1+Sn）=2，可得Sn+12﹣Sn2=2，运用等差数列的定义和通项公式可得所求Sn；

（2）化简==（）=（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和．

【解答】解：（1）a1=，an＞0，an+1•（Sn+1+Sn）=2，

可得（Sn+1﹣Sn）（Sn+1+Sn）=2，

可得Sn+12﹣Sn2=2，

即数列{Sn2}为首项为2，公差为2的等差数列，

可得Sn2=2+2（n﹣1）=2n，

由an＞0，可得Sn=；

（2）=

=（）=（﹣），

即有++…+

=（﹣1+﹣+2﹣+…+﹣）

=（﹣1）．

【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的递推式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．

21．（15分）双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．

（1）求C的轨迹方程；

（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．

【分析】（1）根据双曲线的方程求出焦点F2的坐标，再根据“C是以F2为圆心且过原点的圆”即可得出圆C的圆心和半径，从而求得C的轨迹方程；

（2）先设出M点和P点的坐标，根据=2来列出用M点坐标表示P点坐标的式子，因为P点在圆C上，将P点坐标代入C的轨迹方程即可求出M的轨迹方程．

【解答】解：（1）由已知得a2=12，b2=4，故c==4，所以F1（﹣4，0）、F2（4，0），

因为C是以F2为圆心且过原点的圆，故圆心为（4，0），半径为4，

所以C的轨迹方程为（x﹣4）2+y2=16；

（2）设动点M（x，y），P（x0，y0），

则=（x+4，y），，

由，得（x+4，y）=2（x0﹣x，y0﹣y），

即，解得，

因为点P在C上，所以，

代入得，

化简得．

【点评】本题考查了双曲线的性质、轨迹方程的解题方法，考查了运算能力，属于中档题．

22．（15分）x1、x2∈R，f（0）≠0，且f（2x1）+f（2x2）=f（x1+x2）•f（x1﹣x2）．

（1）求f（0）；

（2）求证f（x）为偶函数；

（3）若f（π）=0，求证f（x）为周期函数．

【分析】（1）由抽象函数解析式，可令x1=x2=0，计算可得所求值；

（2）可令x1=，x2=﹣，代入计算，由偶函数的定义即可得证；

（3）可令x1=+π，x2=，代入化简可得f（x+2π）=﹣f（x），将x换为x+2π，再由周期函数的定义，即可得证．

【解答】解：（1）f（2x1）+f（2x2）=f（x1+x2）•f（x1﹣x2），

可令x1=x2=0，可得f（0）+f（0）=f（0）•f（0），

由f（0）≠0，

可得f（0）=2；

（2）证明：可令x1=，x2=﹣，

则f（x）+f（﹣x）=f（0）f（x）=2f（x），

可得f（﹣x）=f（x），

则f（x）为偶函数；

（3）证明：可令x1=+π，x2=，

则f（x+2π）+f（π）=f（x+π）f（π）=0，

即有f（x+2π）=﹣f（x），

将x换为x+2π，可得

f（x+4π）=﹣f（x+2π）=f（x），

可得f（x）为最小正周期为4π的函数．

【点评】本题考查抽象函数的运用：求函数值和奇偶性、周期性，考查定义法解题以及赋值法，化简整理的运算能力，属于中档题．