08-09高数A2期末考试卷(A)及答案

江 苏 科 技 大 学 08 － 09 学年（2）学期

高等数学A2课程试题(

A )卷

一． 填空题(每小题4分，共20分)

1．设2(,

),x

z f x y

=其中f 具有一阶连续偏导数,则____________________=∂∂x z 2.曲面222426x y z -+=在点(2,2,3)P 处的法线方程是_____________________ 3.()222________________L

x y z ds ++=⎰,其中:cos ,sin ,L x t y t z t ===，)0(π≤≤t

4. .将1

()2f x x

=

-展开成x 的幂级数为____________ 5. 微分方程0xy y '+=满足条件11x y ==的特解是____________

二、单项选择题(每小题4分，共20分)

1. 设00(,)(,)z f x y x y =在处的全增量为z ∆，若 00(,)(,)z f x y x y =在处可微，则在

点00(,)x y 处（ ）

（A ）z dz ∆= （B ）()z dz o ρ∆=+

（其中ρ=

（C ）z ∆=0000(,)(,)x y f x y x f x y y ''∆+∆（D ）z ∆=0000(,)(,)()x y f x y f x y ορ''++

2. 点O （0，0）是函数z xy =的 （ ）

（A ）极小值点 （B ）极大值点 （C ）最大值点 （D ）驻点但非极值点

3. 设积分区域D 由1x y +=、1y x -=与x 轴围成，则D

dxdy ⎰⎰= （ ）

（A ）111

1x

x

dx dy +--⎰⎰

（B ）

110

1

y

y dy dx --⎰⎰

（C ）110

y dy dx -⎰⎰ （D ）11

1

dx dy -⎰⎰

4. 函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是（ ） （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--=

（C ）23x y y y xe '''+-= （D ）23x y y y e '''+-=。

5. 下列级数绝对收敛的是 ( )

)(A ()112n

n ∞

=-⋅∑ ()B 1

c o s s i n 1n n n π

π∞

=+∑ ()C 2

1c o s n n n π

∞

=∑ )(

D 1n ∞

=∑

三.解下列各题(2⨯6分=12分)

1. 设函数(),z z x y =由方程232x z z e y -=+确定，求3z z x y

∂∂+∂∂

2. D ⎰⎰22()arctan

y

x y dxdy x

+，其中D 为圆221 4 x y ≤+≤及直线,0y x y ==围成且位

于第一象限的部分区域。

四 解下列各题(2⨯6分=12分)

1 计算()

2

1

1dv x y z Ω+++⎰⎰⎰，其中Ω为平面 0,0,0,1x y z x y z ===++=所围成的四面体。

2. 计算曲线积分()()sin 8cos 7x x L

I e y y dx e y x dy =++-⎰，其中L 是由点A(2,0)

沿曲线

y =B （-2，0）的曲线弧。

五 .解下列各题(2⨯7分=14分)

1. .判别级数21

cos

32n n n n π∞=∑的敛散性

2. 2

2(),x

y dS ∑

+⎰⎰其中Σ为锥面2223()z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分。

六.(本题共8分)

计算()()

223

219xz dydz y z dzdx z dxdy

∑

+++-⎰⎰,其中∑为 曲面()22112z x y z =++≤≤的下侧

七.(本题共8分)

设函数()f x 在()0,+∞内具有连续导数，曲线积分()()11L

f x ydx f x dy x ⎡⎤

+-⎢⎥⎣⎦⎰与路径

无关，且()1

12

f =，试求()f x

八．(本题6分)

（1）验证函数

()()()246222!4!6!2!n

x x x x y x x n =++++++-∞<<+∞ 满足微分方程1y y ''-=-

（2）利用（1）的结果求幂级数()2122!

n

n x n ∞

=+∑的和函数.

江苏科技大学08—09学年第二学期高等数学A2试题（A ）解答及评分标准

一、填空题

1． 121

2xf f y +

2． 23243y z x ---==- 3．

31

)3

ππ+

4． 10 (22)2

n

n n x x ∞

+=-<<∑ 5． 1y x =

二、选择题

1． B 2．

D 3． B 4． D 5． C

三、解下列各题

1． 令23(,,)2x z F x y z e y z -=+-，则232x z x F e -=， 2y F =，2331x z z F e -=--……3′

∴ 2323231x z x x z z F z e x F e --∂=-=∂+ ， 232

31

y x z

z F z y F e -∂=-=∂+ …………………………2′ ∴ 3

2z z

x y

∂∂+=∂∂ …………………………………………………1′ 2． 原式2

240

1arctan tan d r rdr π

θθ=

⋅⎰

⎰ …………………………………………………4′

23

40

1

d r dr πθθ=⎰⎰

2

15128

π=

………………………………………………………………2′ 四、解下列各题

1． 原式1

112

1

(1)

x

x y

dx dy dz x y z ---=

+++⎰⎰

⎰

………………………………………4′ 1

10

11()12

x

dx dy x y -=

-++⎰

⎰

1

1

[ln 2ln(1)(1)]2

x x dx =

-+--⎰

3

ln 24

=

- ………………………………………………………………2′ 2．

cos 8x P e y x ∂=+∂ ， cos 7x Q e y y

∂=-∂ ………………………………………1′ 添加直线BA ：0y =，x 从2-到2，则由格林公式得 ………………………………1′

(

)L BA

D

Q P

dxdy x y

+∂∂=-∂∂⎰⎰⎰ (15)D

dxdy =-⎰⎰

21

1522

π=-⋅⋅30π=- …………………………………………………2′

而

0BA

=⎰

， …………………………………………………………………………1′

故 30L BA

BA

I π+=

-=-⎰⎰ ………………………………………………1′

五、解下列各题 1．

2

cos 322n n

n n n π≤， ………………………………………………………………2′ 又对于级数12n n n

∞

=∑ ，有1112lim lim 2n n n n n n

u n u n ++→∞→∞+=⋅

1

12

=

< ……………………………………3′ 1

2

n

n n

∞

=∴∑收敛。 ………………………………………1′ 由比较判别法， 可知原级数收敛。 ……………………………………………1′

2. 由2223()3z x y z ⎧=+⎨=⎩

，得 22

3x y +=

∑：

z = 而xy D ：223x y +≤ ………………………………1′

z z x y ∂∂==

∂∂……………………………1′

∴

原式22(xy

D x y =+⎰⎰ ………………………………………2′

22(xy

D x y =

+⎰⎰

222()xy

D x y dxdy =

+⎰⎰

……………………1′

230

2

d dr π

θ=⎰

9π= …………………………………………………………2′

六、添加1: 2z ∑=取上侧， 则22: 1xy D x y +≤ …………………………1′

1

(

)P Q R

dv x y z

∑+∑Ω

∂∂∂∴=++∂∂∂⎰⎰

⎰⎰⎰ ……………………………………3′ 222(213)z z z dv Ω

=++-⎰⎰⎰ dv Ω

=⎰⎰⎰

2

212

1r d rdr dz π

θ+=

⎰

⎰⎰

2

π

=

…………………………………………………………2′

而

1

xy

D dxdy ∑=⎰⎰

⎰⎰π= …………………………………………………………1′

∴ 原式1

1

2

2

π

π

π∑+∑∑=

-=

-=-

⎰⎰⎰⎰ ………………………1′

七、 ()11P f x y x ⎡⎤

=+⎢⎥⎣⎦

， ()Q f x =-

曲线积分与路径无关

P Q

y x

∂∂∴=∂∂ ∴ ()

11()f x f x x

'+

=- ……………………………………3′

即： ()1

()1f x f x x

'+

=- 为一阶非齐次线性方程

7 ∴ ()11

()dx dx x x f x e e dx C -⎰⎰=-+⎰ 2

C x x =- …………………………………………………3′ 又()112

f = ∴ 1C = ……………………………………………1′ ()1 2

x f x x ∴=- ………………………1′ 八、（1） ()()()212 2!n

n x y x x n ∞

==+-∞<<+∞∑ ①

()()21[] 2!n n x y x n ∞

=''=∑()21

1 21!n n x n -∞==-∑ ② ()()211[] 21!n n x y x n -∞

='''=-∑()22122!n n x n -∞==-∑()202!n n x n ∞==∑()2112!n

n x n ∞==+∑ …………2′ ∴ ()()()()22111(2 ) 2!2!n n

n n x x y x y x n n ∞

∞==''-=+-+∑∑1 =- 即()y x 是方程的解。 ……………………………………………………………1′

(2) 由1y y ''-=-，得特征方程210r -=

1r ∴=±

12 ()x x Y x C e C e -∴=+ ………………………………………1′ 令y A *=，则代入方程有：

1A A ''-=-

1A ∴=

12 ()1x x y x C e C e -∴=++ ……………………………………………………1′ 又由①可得， (0)2y =，由②可得，(0)0y '=

而12()x x y x C e C e -'=-，代入，解之得：1212C C ==

∴ 和函数 ()11() 1 22

x x y x e e x -=

++-∞<<+∞ ………………1′