椭圆教学设计

（共   1   课时）

目标

过程与方法：通过椭圆的概念引入椭圆的标准方程的推导，培养学生的分析   探索能力，熟练掌握解决解析问题的方法—坐标法。

情感、态度与价值观：通过对椭圆的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，让学生体会运动变化、对立统一的思想，提高对各种知识的综合运用能力．

难点

难点：椭圆的标准方程的推导．

准备

 问题1：见过图片吗？(神舟七号宇航员）

 2008年9月25日晚21时10分04秒，“神舟七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空 ，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。

 问题2： 你知道它的运行轨道是什么？（椭圆）

 问题3：实际生活中你见过的椭圆有哪些？（学生举例）

 问题4：怎样得到椭圆呢？（板书课题）

 问题5：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．

思考：

把一个定点变为两个定点，到两个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么？

合作探究

  (1)取一条一定长的细绳

  (2)把它的两端用图钉固定在纸板F1和F2上

  (3)当绳长大于两图钉之间的距离时，用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出一个图形

对学生提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=| F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜| F1F2 |，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上条件：“此常数大于| F1F2 |”．

(二)椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)．设| F1F2 |=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

(3)代数方程

(4)化简方程（学生板演，教师点拨）

2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、

F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、

F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．

教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题讲解

例 1.下列方程哪个表示椭圆？

例2、填空：

(1)已知椭圆的方程为

则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______。

(2)已知椭圆的方程为： 则

 ，b=_______，c=_______，

 焦点坐标为：__________，焦距

 等于_________;    

  若曲线上一点P到一个焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于________， 

  则∆F1PF2的周长为___________

（四）课堂练习：  练习 1、2

 (五) 课时小结

1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

图形:

3.数学方法总结

    数形结合   类比  分类讨论的数学思想

（六）布置作业：习题   A组 1,2

1.椭圆的定义

2.椭圆的标准方程                   例

（1）焦点在x轴上

（2）焦点在y轴上