北京市海淀区北京大学附属中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A． ． ． ．

2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　）

A．3cm ．4cm ．5cm ．6cm

3．中，点分别是的边，的中点，连接，若，则（   ）

A． ． ． ．

4．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）

A． ． ． ．

5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AD的长为（       ）．

A．4 ．5 ．3 ．

6．如果，则a的取值范围是（       ）

A． ． ． ．

7．在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（        ）

A．60 ．50 ．40 ．15

8．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（　　）

A．1种 ．2种 ．4种 ．无数种

9．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是(     ).

A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定

B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好

C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高

D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

10．一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（　　）

A． ．﹣2 ．2 ．4

二、填空题

11．若有意义，则x 的取值范围是__________．

12．在实数范围内分解因式a2﹣6＝_____．

13．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________．

14．如图，在中，，D是AB的中点，若，则的度数为________．

15．当x＝___时，代数式+1取最小值为___．

16．平行四边形的一个内角平分线将对边分成3cm和5cm两个部分，则该平行四边形的周长是__cm.

17．如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是____．

18．北大附中实验学校科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是______．

①可以得到无数个平行四边形EGFH；

②可以得到无数个矩形EGFH；

③可以得到无数个菱形EGFH；

④至少得到一个正方形EGFH．

所有正确结论的序号是__．

20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．

（1）S△BDC：S△BAC＝_____；

（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为_____．

三、解答题

21．计算：．

22．已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣6的值．

23．下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．

已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，

求作：矩形ABCD，

作法：如图，

①作线段AC的重直平分线交AC于点O；

②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；

③连接AD，CD．

所以四边形ABCD即为所求作的矩形

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：∵OA＝OC，OD＝OB，

∴四边形ABCD是平行四边形（       ）．（填推理的依据）

∵∠ABC＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形（       ）．（填推理的依据）

24．如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的角平分线．

求证：四边形DEBF是平行四边形．

25．我校小李同学对北大附中初中三个年级的学生年龄构成很感兴趣，整理数据并绘制如图所示不完整的统计图．依据信息解答下列问题．

（1）求样本容量；

（2）直接写出样本数据的众数、中位数和平均数；

（3）已知北大附中实验学校一共有1920名学生，请估计全校年龄在14岁及以上的学生大约有多少人．

26．如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若，，，求AE的长.

27．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．

（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，

①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是　     ．

②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．

（2）在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，

①根据描述在图3中补全图形．

②若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．

28．对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．

例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．

（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．

（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．

（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B'C′D′，记m*表示m（A'B′C′D′，QRST）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，QRST）的最大值，直接写出M*+m*的值．

参：

1．A

2．B

3．B

4．D

5．D

6．B

7．C

8．D

9．D

10．B

11．x≥８

12．（a+）（a﹣）

13．如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.

14．52

15．     2     1

16．22或26

17．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

18．96.8分．

19．①③④

20．     5：1；     

21．

22．﹣2．

23．（1）见解析；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．

24．见解析．

25．（1）样本容量是80；（2）众数是13岁；中位数是14（岁），平均数是13.7（岁）；（3）全校年龄在14岁及以上的学生大约有984人．

26．（1）见解析；（2）

27．（1）①AP＝AQ；②①中的结论仍然成立，证明见解析；（2）①补全图形见解析；②DN＝2﹣2．

28．（1）存在，m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；（2）0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）M*+m*＝+．．