全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

二、截长补短

1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。 

3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，

求证： 

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为          ；

                             参与提示

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知

AB-BE <2AD例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,

显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知

EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知

EG故：EF例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,

显然DG＝AC，  ∠GDC=∠ACD

由于DC=AC，故  ∠ADC=∠DAC

在△ADB与△ADG中，

 BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE

二、截长补短

1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC

解：（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知

DF⊥AB，故∠AFD＝90°

△ADF≌△ADC（SAS）      ∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE

△ADE≌△AFE（SAS）

∠ADE＝∠AFE，

∠ADE+∠BCE＝180°

∠AFE+∠BFE＝180°

故∠ECB＝∠EFB

△FBE≌△CBE（AAS）

故有BF＝BC

从而;AB＝AD+BC

3、如图，已知在△ABC内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP

在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°

从而∠BDP＝40°＝∠ACP

△ADP≌△ACP（ASA）

故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝∠QCB   故 BQ＝QC

BD＝BP

从而BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，

求证： 

解：（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD

△BDF≌△BDC（SAS）

故∠DFB＝∠DCB  ，FD＝DC

又AD＝CD

故在等腰△BFD中

∠DFB＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD＝180°

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

解：（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD

△ABP≌△AFP（SAS）

故BP＝PF

由三角形性质知

PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.

解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE

AD为△ABC的角平分线, MN⊥AD

知∠FAE＝∠CAE

故有

△FAE≌△CAE（SAS）

故EF＝CE

在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC

从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. 

∵BD=CE,

∴DM=EM,

∴△DMN≌△EMA(SAS),

∴DN=AE,

同理BN=CA.

延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,

相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,

各减去DP,得BN+AB>DN+AD,

∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC

证明☹(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,

则∠BAC+∠BCA=120度;

AD,CE均为角平分线,

则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;

∠AOC=120度.

在AC上截取线段AF=AE,连接OF.

又AO=AO;∠OAE=∠OAF

.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),

OE=OF;AE=AF; 

∠AOF=∠AOE=60度.

则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;

又CO=CO;∠OCD=∠OCF.

故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),

OD=OF;CD=CF.

OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DC

DG垂直平分BC，故BD＝DC

由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有

ED＝DF

故RT△DBE≌RT△DFC（HL）

故有BE＝CF。

AB+AC＝2AE

AE＝（a+b）/2

BE=(a-b)/2

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG

则GE=GB+BE=DF+BE=EF

又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG

所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF

又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90

所以∠EAF=45度

例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1)当绕点D转动时，求证DE=DF。

(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

解：(计算数值法)（1）连接DC，                                  

D为等腰斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA

CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°

由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°

由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90°

从而∠CDE＝∠FDA＝

故有△CDE≌△ADF（ASA）

故有DE=DF

（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1

例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为          ；

解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

      DM=DE

     ∠MDN=∠EDN=60°

     DN=DN

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE

∵在△DMA和△DEF中，

      DM=DE

     ∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF    (∠CDE=∠BDM)

    ∠DAM=∠DFE=30°

∴△DMN≌△DEN   (AAS)，

∴MA=FE

的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6