2016-2017学年湖南沙郡中学高一上学期期末考试数学试题

数学

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1.设集合，则

  A.      B.     C.     D.

2.已知是第一象限角，那么是

  A. 第一象限角                       B. 第二象限角    

C.  第一或第二象限角                D.第一或第三象限角

3.已知函数，则下列结论中正确的是

  A.  是偶函数                        B. 是增函数  

  C.  是周期函数                      D.的值域是

4.已知向量，若，则

  A.      B.     C.     D.

5.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是

  A.      B.    

 C.        D.

6.若向量两两夹角相等，且，则

  A. 2     B.  5   C. 2或5    D.或

7.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为

  A.    B.    

 C.     D. 

8.已知，则的值是

  A.      B.     C.     D.

9.若在区间上递减，则的取值范围是

  A.      B.     C.     D.

10.若函数的两个零点分别在区间和上，则的取值范围是

  A.      B.     C.     D.

11.函数的大致图象是

12.已知函数的部分图像如图所示，则

  A.      B.     C.     D.

13.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是

  A.      B.     C.     D.

14.设函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使得在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则的取值范围是

  A.      B.     C.     D.

15.已知两个平面向量满足：对任意的，恒有，则

  A.      B.     C.     D. 

第Ⅱ卷（非选择题  共55分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

16.已知，则与垂直的单位向量的坐标为                .

17.已知，则                .

18.函数的零点个数为                .

19.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是                .

20.如图，在直角梯形中，为线段（含端点）上一个动点，设，对于函数，给出以下三个结论：①当时，函数的值域为；②对于任意的，均有；③对于任意的，函数的最大值均为4.其中所有正确的结论序号为                .

三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

21. 已知函数

   （1）试确定的值，使为奇函数；

   （2）判断函数的单调性，并用定义法证明.

22. 已知O为坐标原点，为常数)，若

   （1）求关于的函数解析式；

   （2）若时，的最大值为2，求的值，并指出函数的单调区间.

23. 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放且个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.

   （1）若投放个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求的值；

   （2）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

24. 如图所示，已知的半径为1，圆心角为的扇形，是扇形的内接矩形，两点在圆弧上，是的平分线，连接,记

问：角为何值时，矩形的面积最大，并求出最大面积.

25. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为，那么把叫闭函数.

   （1）求闭函数符合条件②的区间；

   （2）若函数是闭函数，求实数的取值范围.