2019年上海市黄浦区初三二模数学试卷(含答案和解析)

数学试卷

2019年4月

（考试时间：100分钟

总分：150分）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．下列自然数中，素数是（▲）（A）1；

（B）2；

（C）4；

（D）9．

2．下列运算正确的是（▲）（A）5

3

2)(a a =；（B）532

a a a

=⋅；（C）a a 4)2(2

=；（D）236

a a a

=÷.

3．反比例函数x

m

y =的图像在第二、四象限内，则点(),1m -在（▲）（A）第一象限；（B）第二象限；

（C）第三象限；

（D）第四象限.

4．为了了解某校九年级400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析.在这项调查中，样本是指（▲）

（A）400名学生；（B）被抽取的50名学生；（C）400名学生的体重；

（D）被抽取的50名学生的体重．

5．下列等式成立的是（▲）

（A）()a a --= ；（B）()

0a a +-=

；

（C）a b b a -=-

；（D）0a a -=

．

6．半径分别为1和5的两个圆相交，它们的圆心距可以是（▲）（A）3；

（B）4；

（C）5；

（D）6．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7=

▲．8．因式分解：2

9a -=

▲

．9．方程

3=的解是x =▲．

10．直线23y x =-的截距是

▲

.11．不等式组25,

30x x >⎧⎨-<⎩

的解集是

▲

.12．如果关于x 的方程()22210x m x m --+=没有实数根，那么m 的取值范围是

▲．

13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，向上的一面出现的点数是2的倍数的概

率是

▲

．

B

A

C

B 1

A 1

E

图3

D

x

y

O

A

B

C

图2

A

B

C

D E O

图1

14．秋季新学期开学时，某中学对六年级新生掌握“中学生日常行为规

范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了不完整的图表（如表1所示），图表中c =

▲

．

15．正九边形的中心角等于

▲

°．

16．如图1，点O 是ABC ∆的重心，过点O 作DE ∥AB ，分别交AC 、BC 于点D 、E ，如果AB a = ，那么DO =

▲(结果用a

表示)．17．如图2，函数()12

0y x x =

>的图像经过OAB ∆的顶点B 和边AB 的中点C ，如果点B 的横坐标为3，则点C 的坐标为

▲

．

18．如图3，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3

sin 5

B =

，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆，点A 、B 分别与点1A 、1B 对应，边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边11A B 的中点，那么

1BD

B C

=▲．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）

计算：()1

33

tan 60cos32713019

02-+--

︒-︒

.

20．（本题满分10分）

解方程：22161242

x x x x +-=

--+．分数段频数频率60≤x ＜706a 70≤x ＜80200.480≤x ＜9015b 90≤x ≤100

c

0.18

表1

21．（本题满分10分）如图4，已知O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，43BC =，

求O 的半径.

22．（本题满分10分）A 、B 两地相距30千米，已知甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A 地出发前往B 地，途

中乙因修车耽误了些时间，然后又继续赶路.图5中的线段OM 和折线OCDE 分别反映了甲、乙两人所行的路程y （千米）与时间x （分）的函数关系，根据图像提供的信息回答下列问题：（1）甲骑自行车的速度是

▲

千米/分钟；（2）两人第二次相遇时距离A 地

▲

千米；

（3）线段DE 反映了乙修好车后所行的路程y （千米）与时间x （分）

的函数关系.请求出线段DE 的表达式及其定义域.

23．（本题满分12分）如图6，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，DO =BO ，过点C 作

CE ⊥AC ，交BD 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，且满足DCE ACB ∠=∠.（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）求证：

DE AD

EF CD

=

.x （分）

y (千米)

O 3010

3050120图5

M

C

D

E

80

A

B

C

O

图4

A

B

C

D

E F

图6

O

24．（本题满分12分）如图7，已知抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0O 、()2,0A ，直线2y x =经过抛物线的

顶点B ，点C 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC 、OC 、AB ，过点C 作CE ∥x 轴，分别交线段OB 、AB 于点E 、F .（1）求抛物线的表达式；

（2）当BC CE =时，求证：BCE ∆∽ABO ∆；（3）当CBA BOC ∠=∠时，求点C 的坐标.

25．（本题满分14分）已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，2ABC C ∠=∠，点E 是射线AD 上一点，点F 是射线DC

上一点，且满足BEF A ∠=∠.

（1）如图8，当点E 在线段AD 上时，若AB=AD ，在线段AB 上截取AG=AE ，联结GE .

求证：GE=DF ；

（2）如图9，当点E 在线段AD 的延长线上时，若AB =3，AD =4，1

cos 3

A =

，设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；

（3）记BE 与CD 交于点M ，在（2）的条件下，若△EMF 与△ABE 相似，求线段AE 的长.

D A B

C

E

F 图9

A

B

C

E F G D

图8

O

x

y

A

B C

E

F

图7

黄浦区2019年九年级学业考试模拟考评分标准参考

一、选择题（本大题6小题，每小题4分，满分24分）1.B ； 2.B ； 3.C ； 4.D ； 5.A ； 6.C .

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．2；8．()()33a a +-；9．8；10．3-；11．532x <<；12．1

4m >；13．12；14．9；15．40；16.13

a ．；

17．()6,2；18．3

5

．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式

311--，-----------------------------------------------------------------（6分）

=232-+-，----------------------------------------------------------------------------（2分）

=3-+-------------------------------------------------------------------------------------（2分）

20.解：去分母得()2

2162x x +-=-，---------------------------------------------------------------（3分）

化简得23100x x +-=，-----------------------------------------------------------------（3分）

解得12x =，25x =-.----------------------------------------------------------------------------------（2分）经检验12x =是增根，∴原方程的根是5x =-.-------------------------------------------------（2分）21.解：联结AO ，交BC 于点D ，联结BO .----------------------------------------------------------（1分）

∵AB=AC ，∴ AB AC

=，------------------------------------------------------------------------------（1分）又AO 是半径，∴AO ⊥BC ，BD=CD .---------------------------------------------------------------（2分）

∵BC =

，∴BD =，-------------------------------------------------------------------------------（1分）∴在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，∴222BD AD AB +=，---------------------------------------（1分）又AB =4，∴2AD =.----------------------------------------------------------------------------------------（1分）设半径为r .在Rt BDO ∆中，∵222BD DO BO +=，-----------------------------------------------（1分）

∴(()2

2

2+2r r -=，-------------------------------------------------------------------------------（1分）

∴4r =.--------------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）

∴O 的半径为4.

22.解：（1）1

4，（2分）；（2）20，（2分）；

（3）设线段DE 的表达式为()0y kx b k =+≠.-------------------------------------------------------（1分）∵线段DE 经过点()50,10D 和()80,20，----------------------------------------------------------------（1分）

∴5010,8020k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴1,3

20.

3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

-----------------------------------------------------------------------------（2分）

∴()120

5011033

y x x =

-≤≤.---------------------------------------------------------------------------（2分）23.证明：（1）∵AD ∥BC ，∴

AD DO

BC BO

=

，∵DO =BO ，∴AD BC =，--------------------（2分）∴四边形ABCD 是平行四边形.------------------------------------------------------------------------（1分）∵CE ⊥AC ，∴90ACD DCE ∠+∠=︒，

∵DCE ACB ∠=∠，∴90ACB ACD ∠+∠=︒，即90BCD ∠=︒，------------------------（2分）∴四边形ABCD 是矩形.--------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，90ADC ∠=︒---------------------------------------（2分）

∵AD ∥BC ，∴DE EF

BD FC

=

.--------------------------------------------------------------------------------（1分）∴DE EF AC FC =，------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴DE AC EF FC

=，∵90ADC ACF ∠=∠=︒，∴cot AC AD

DAC FC CD

∠==

，----------------------------------------------------------------------------------（1分）∴DE AD EF CD

=.--------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）24.解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0O 、()2,0A ，∴对称轴为1x =，∵直线2y x =经过抛物线的顶点B ，∴()1,2B .--------------------------------------------------------（1分）设()2

12y a x =-+，--------------------------------------------------------------------------------------------（2分）∵抛物线经过原点()0,0O ，∴2a =-，∴224y x x =-+.------------------------------------------（1分）（2）∵BC CE =，∴BEF CBE ∠=∠，------------------------------------------------------------（1分）∵CE ∥x 轴，∴BEF BOA ∠=∠，-------------------------------------------------------------------（1分）

∵()1,2B ，()2,0A ，∴OB AB ==，∴BOA BAO ∠=∠，-----------------------------（1分）∴CBE BEF BOA BAO ∠=∠=∠=∠，∴BCE ∆∽ABO ∆，--------------------------------------（1分）（3）记CE 与y 轴交于点M ，过点B 作BN ⊥CE ，垂足为点N .设()

2,24C m m m -+.∵BEF BOC ECO ∠=∠+∠，BFE CBA BCE ∠=∠+∠，

又CBA BOC ∠=∠，BEF BFE ∠=∠，∴ECO BCE ∠=∠，-------------------------------------（1分）∴tan tan ECO BCE ∠=∠.

∵CE ∥x 轴，x 轴⊥y 轴，∴90OMC BNC ∠=∠=︒，∴OM BN

CM CN =

，-----------------（1分）∴22242241m m m m m m -++-=

-，∴11m =（舍），232m =，∴33,22C ⎛⎫

⎪⎝⎭.-------------------（2分）25.解：（1）∵AG AE =，∴1802

A

AGE ︒-∠∠=.∵AD ∥BC ，∴180A ABC ∠+∠=︒，∵2ABC C ∠=∠，∴1802

A

C ︒-∠∠=

，∴AGE C ∠=∠，---------------------------------（1分）∵AD ∥BC ，∴180D C ∠+∠=︒，又180BGE AGE ∠+∠=︒，∴BGE D ∠=∠.----------（1分）∵BEF FED A GBE ∠+∠=∠+∠，∵BEF A ∠=∠，∴FED GBE ∠=∠.--------------（1分）又AB=AD ，AG=AE ，∴BG=ED ，∴GBE ∆≌DEF ∆，∴GE=DF.--------------------------（1分）

（2）在射线AB 上截取AH=AE ，联结EH .------------------------------------------------------------（1分）∵HBE A AEB ∠=∠+∠，DEF BEF AEB ∠=∠+∠，又BEF A ∠=∠，∴HBE DEF ∠=∠.∵AD ∥BC ，∴EDC C ∠=∠，180A ABC ∠+∠=︒.∵AH=AE ，∴1802A H ︒-∠∠=，又2ABC C ∠=∠，∴H C ∠=∠，∴H EDC ∠=∠，∴BHE ∆∽EDF ∆.-------------------（1分）∴BH EH ED DF

=.过点H 作HP ⊥AE ，垂足为点P .∵1cos 3A =，AE AH x ==，∴13AP x =

，3PH x =，23PE x =

，∴3EH x =.-------------------------------------（1分）∵AB =3，AD =4，AE x =，DF y =，∴23334x x y

-=-

，∴()2439y x x -=>-.（2分）（3）记EH 与BC 相交于点N .

∵EMF ∆∽ABE ∆，BEF A ∠=∠，∴AEB EMF ∠=∠，或AEB EFM ∠=∠.-------------（1分）若AEB EMF ∠=∠，又AEB EMF ∠<∠，矛盾，∴此情况不存在.-----------------------------（1分）若AEB EFM ∠=∠，∵BHE ∆∽EDF ∆，∴BEH EFM ∠=∠，∴AEB BEH ∠=∠.------（1分）∵AD ∥BC ，∴AEB EBC ∠=∠，∴BEH EBC ∠=∠，∴3BN EN BH x ===-,∵AD ∥BC ，∴AB EN AH EH

=

，∴33

x =

3x =+.----------------------------------（2分）∴线段AE

的长为3+.

(以上各题若有其他解法，请按评分参考按步给分)