二阶非线性微分方程解的Sturm比较定理

二阶非线性微分方程解的Sturm比较定理Ξ

庄　容　坤

(惠州大学数学系,广东惠州516015)

摘　要　本文首先建立二个微分恒等式,然后利用它们研究了二类非线性微分方程与线性微分程之间解的Sturm比较定理,所得结论包含了一些经典的结论.

关键词　二阶非线性微分方程,微分恒等式,Sturm比较定理.

分类号　AM S(1991)34C10 CCL O175.4

考虑方程

　　　　　　(p1(t)x′)′+r1(t)x′+q1(t)x=0,(1)　　　　　　(p2(t)y′)′+r2(t)y′+q2(t)f(y)=0,(2)　　　　　　(p2(t)y′)′+r2(t)y′+q2(t)y=g(y).(3)设x(t)是方程(1)的非平凡解,且x(0)=x(1)=0,I=[0,1],p1(t),p2(t),r1(t),r2(t), q1(t),q2(t)∈C′(I),p2(t)>0,t∈I,f(u),g(u)∈C(-∞,+∞).

定理1　设y(t)是方程(2)的非平凡解,若y(t)≠0,t∈[0,1],则成立下面恒等式

[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x

2p2

-x′+x y

′

y

)2

　+(q2f

(y)

y

-q1-

r22

4p2

)x2+(r2-r1)x x′.

证明

　　[x

y (y p1x′-x p2y′)]′=(x p1x′)′-(x

2p

2y′

y

)′

=p1x′2+x(p1x′)′-x2(p2y′)′

y

-

2x x′p2y′

y

+

p2x2y′2

y2

=p1x′2-r1x x′-q1x2+r2x2y′

y

+q2x2f

(y)

y

-

2x x′p2y′

y

+

p2x2y′2

y2

=p1x′2-r1x x′+(q2f (y)

y

-q1)x2+2p2x y

′

y

(r2x

2p2

-x′)+p2(x y

′

y

)2

=p1x’2+p2(r2x

2p2

-x′+x y

′

y

)2-p2(r2x

2p2

-x′)2+(q2f

(y)

y

-q1)x2-r1x x′

=(p1-p2)x′2+p2(r2x

2p2

-x′+x y

′

y

)2+(q2f

(y)

y

-q1-

r22

4p2

)x2+(r2-r1)x x′,

即

Ξ1995年4月26日收到.[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x

2p2

-x′+x y

′

y

)2

　+(q2f

(y)

y

-q1-

r22

4p2

)x2+(r2-r1)x x′.

定理2　设y(t)是方程(3)的非平凡解,若y(t)≠0,t∈[0,1],则成立下面恒等式

[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x

2p2

-x′+x y

′

y

)2

　+(q2-q1-r

2

2

4p2

)x2+(r2-r1)x x′-g

(y)

y

x2.

定理2的证法与定理1的证法类似,故略.

定理3　设0,1是方程(1)的非平凡解x(t)的两相邻零点,p1≥p2>0,q2≥q1+r 2 2

4p2

+ r′2-r′1

2

,t∈[0,1]且在[0,1]的任一子区间上等式不成立,又Πu≠0,有uf(u)≥u2,则方程(2)的非平凡解y(t)在[0,1]内至少有一个零点.

　　证明　若不然,y(t)≠0,t∈[0,1],则由定理1有:

[x

y

(y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x

2p2

-x′+x y

′

y

)2

　+(q2f

(y)

y

-q1-

r22

4p2

)x2+(r2-r1)x x′,

从0到1积分得:

∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t

　+∫10(q2f(y)y-q1-r224p2-r2′-r1′

2

)x2d t,

又由于∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=0,从而

∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫10(q2f(y)y-q1-r224p2-r2′-r1′

2

)x2d t 　=0.

但由已知条件可知上面的等式的左边大于零,产生矛盾,故y(t)在[0,1]内至少有一个零点.

定理4　设x(t)是方程(1)的满足x(0)=x′(Α)=0,Α∈(0,1)的非平凡解,r2≥r1,其他条件同定理3,则方程(2)的满足y(0)=0的非平凡解y(t)的导函数y′(t)在(0,Α)内有一个零点.

证明　若有0现设y(t)≠0,t∈(0,Α)则由定理1有

[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x

2p2

-x′+x y

′

y

)2

　+(q2f

(y)

y

-q1-

r22

4p2

)x2+(r2-r1)x x′,

从0到Α积分得∫Α0[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫Α0(p1-p2)x′2d t+∫Α0p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t

　+∫Α0(q2f(y)y-q1-r224p2)x2d t+∫Α0(r2-r1)x x′d t.由于x(0)=0,故

　　∫Α0(r2-r1)x x′d t=r2-r12x2 Α0-∫Α0r′2-r′1

2x

2d t

=r2(Α)-r1(Α)

2x

2(Α)-∫Α0r′2-r′1

2x

2d t,

又由于

　∫Α0[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=[x y(y p1x′-x p2y′)]Α0=-p2(Α)x2(Α)y′(Α)

y(Α)

从而

-p2(Α)x 2(Α)y′(Α)

y(Α)

=∫Α0(p1-p2)x′2d t+∫Α0p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t

+∫Α0(q2f(y)y-q1-r224p2-r′2-r′1

2

)x2d t+r2

(Α)-r1(Α)

2x

2(Α).

由已知条件,显然上面等式的右边大于零,即-p2(Α)x 2(Α)y′(Α)

y(Α)

>0,从而y′(Α)与y(Α)

反号,无妨设y(t)>0,t∈(0,Α),则y′(0)>0,y′(Α)<0,由y′(t)的连续性知:存在Σ∈(0,Α),使y′(Σ)=0.

定理5　设0,1是方程(1)的非平凡解x(t)的两相邻零点,p1≥p2>0,q2≥q1+r 2 2

4p2

+ r′2-r′1

2

,t∈[0,1]且在[0,1]的任一子区间上等号不成立,又Πu≠0有ug(u)≤0,则方程(3)的非平凡解y(t)在[0,1]内至少有一个零点,

证明　若不然,y(t)≠0,t∈[0,1],则由定理2有

[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x

2p2

-x′+x y

′

y

)2

　+(q2-q1-r

2

2

4p2

)x2+(r2-r1)x x′-g

(y)

y

x2,

从0到1积分得

∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t

+∫10(q2-q1-r224p2)x2d t+∫10(r2-r1)x x′d t-∫10g(y)y x2d t.

由于x(0)=x(1)=0,故

∫10(r2-r1)x x′d t=r2-r12x2 10-∫10r′2-r′1

2x 2d t=-∫10r′2-r′1

2x

2d t,

从而

∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t)x2d t-∫10g(y)y x2d t.

　+∫10(q2-q1-r224p2-r′2-r′1

2

显然,由已知条件知上面等式的右边大于零,但等式的左边

∫10[x y(y p1x′-x y2y′)]′d t=[x y(y p1x′-x p2y′)]10=0

产生矛盾,故y(t)在[0,1]内至少有一个零点.

定理6　设x(t)是方程(1)的满足x(0)=x′(Α)=0,Α∈(0,1)的非平凡解,r2≥r1,其他条件同定理5,则方程(3)的满足y(0)=0的非平凡解y(t)的导函数y′(t)在(0,Α)内有一个零点.

定理6的证法与定理4的证法类似,故略.

注1　当f(u)≡u(或g(u)≡0),p1=p2≡1,r1=r2≡0时,定理3(或定理5)为Stu r m 比较定理.

注2　当f(u)≡u(或g(u)≡0),r1=r2≡0时,定理3(或定理5)为Stu r m2P icone比较定理.

注3　当f(u)≡u(或g(u)≡0),p1=p2≡1,r1=r2≡0,∫10(q2-q1)x2d t>0时,定理3(或定理5)为Stu r m2L eigh ton比较定理.

注4　当f(u)≡u(或g(u)≡0),r1=r2≡0,∫10[(p1-p2)x′2+(q2-q1)x2]d t>0时,定理4(或定理6)为Stu rm2L eigh ton关于解的导函数比较定理.

参　考　文　献

[1]　W.L eigh ton,O n the z ero of solu tions of a seeond ord er linea r d if f eren tia l equa tion,J.M ath,Pu re.

A pp l,3(1965),297-310.

[2]　W.L eigh ton,S o m e ele m en ta ry S tu r m theory,J.D ifferen tial Equati on4(1968),187-193

[3]　邓宗琦,常微分方程边值问题和Stu rm比较理论引论(第一版),华中师范大学出版社,1987.

[4]　程崇高等,一个微分2积分恒等式及其应用,华中师范大学学报(自然科学版),4(1993),433-435

Sturm Com par ison Theorem of Solution s for Second

Order Non li near D ifferen ti al Equation

Z huan R ong kun

(D ep t.of M ath.,H uizhou U niversity,Guangdong516015)

Abstract

In th is p ap er,w e estab lish tw o differen tial iden ties and there by generalize som e classical Stu rm Com p arison theo rem s.

Keywords　second o rder non linear differen tial equati on,differen tial iden tity,Stu rm com p ar2 ison theo rem.