2022-2023学年广东省东莞市九年级(上)期中数学试题及答案解析

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数中，是二次函数的是(    )

A.  B. 

C.  D. 

2.  在抛物线上的一个点是(    )

A.  B.  C.  D. 

3.  下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线

C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线

4.  关于抛物线的图象，下列结论正确的是(    )

A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而增大

C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是

5.  如图是抛物线的示意图，则的值可以是(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

6.  在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D. 

7.  已知点，都在函数的图象上，则(    )

A. 

B. 

C. 

D. ，大小不确定

8.  二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

C. ，， D. ，，

9.  参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，参加聚会的人数为是(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

10.  在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D. 

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  二次函数的图象的对称轴是______．

12.  抛物线的顶点坐标为______．

13.  已知关于的一元二次方程两实数根为，，则______．

14.  关于的一元二次方程有一个根是，则的值是______．

15.  如图，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，连接，若，则的度数为______．

16.  如图，一元二次方程的解为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.  解方程：．

19.  本小题分

已知二次函数的图象经过点，，，求该二次函数的解析式．

20.  本小题分

如图，已知点，的坐标分别为，．

画出关于点中心对称的图形点对应点；

点的坐标是______，点的坐标是______．

已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

求的取值范围；

当时，求出此时方程的两个根．

22.  本小题分

某种商品每件的进价为元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？

23.  本小题分

如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为多少米？

如图，已知抛物线经过，两点．

求抛物线的解析式和顶点坐标；

当时，直接写出的取值范围；

点为抛物线上的一点，若，求出此时点的坐标．

如图所示，在中，，，，点从点开始沿边以的速度向点移动，点从点开始沿边以的速度向点移动，，两点同时出发，点移动到点后停止，点也随之停止运动．

写出的面积关于时间的函数解析式及的取值范围．

几秒钟后，的面积为？

几秒钟后，的面积等于四边形的面积？

1.【答案】 

【解析】解：、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；

B、，不是二次函数，故此选项不合题意；

C、是二次函数，故此选项符合题意；

D、当时，不是二次函数，故此选项不合题意；

故选：．

利用二次函数定义进行分析即可．

此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．

2.【答案】 

【解析】解：、时，，点不在抛物线上；

B、时，，点不在抛物线上；

C、时，，点在抛物线上；

D、时，，点不在抛物线上．

故选：．

把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐一检验．

本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系．

3.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

4.【答案】 

【解析】解：，

抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，

时，随的增大而增大，

将代入得，

抛物线与轴交点坐标为，

故选：．

由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，将代入函数解析式可得抛物线与轴的交点，进而求解．

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

5.【答案】 

【解析】解：抛物线的靠口向上，

二次项系数大于，

只有选项符合题意，

故选：．

由图象可知抛物线的开口向上，得出二次项系数大于，即可得出答案．

本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是要牢记二次项系数与图象开口的关系．

6.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向左平移个单位长度，得到：，

再向上平移个单位长度得到：．

故选：．

直接利用二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．

此题主要考查二次函数图象的几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：函数，

抛物线开口向下，对称轴为轴，

当时，随的增大而减小，

，

，

故选：．

根据二次函数的性质即可得到答案．

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，

，

抛物线与轴的交点在轴负半轴，

，

对称轴在轴右侧，

，

，

故选：．

根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与轴的交点判断，，的符号即可．

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．

9.【答案】 

【解析】解：设有人参加聚会，根据题意得：

，

解得：，舍去．

答：参加聚会的人共有人．

故选：．

先设有人参加聚会，根据参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人握手次，列出方程，求出的值，再根据只能取正数，即可得出答案．

本题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出代数式，注意只能取正数．

10.【答案】 

【解析】解：二次函数，

抛物线开口向上，

排除，

一次函数，

直线与轴的正半轴相交，

排除；

抛物线得，

排除；

故选：．

根据二次函数得抛物线开口向上，排除，根据一次函数，得直线与轴的正半轴相交，排除；根据抛物线得，故排除．

本题考查了二次函数和一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：，

抛物线的顶点坐标为，

对称轴是：．

故本题答案为：．

用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求抛物线的对称轴．

本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系．用配方法或对称轴公式可求抛物线的对称轴．

12.【答案】 

【解析】解：抛物线是顶点式，

顶点坐标是．

故答案为：．

已知抛物线顶点式，顶点坐标是．

本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．

13.【答案】 

【解析】解：方程化为一般式，

，是方程的两个实数根，

，

故答案为：．

利用根与系数的关系可得出．

本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，

分解因式得：，

可得或，

解得：或，

当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去；

则的值为．

故答案为：．

把代入方程计算，检验即可求出的值．

此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转到，

，，

，

又，

，

故答案为：．

由旋转的性质可得，，从而得到，再由，即可求得结果．

本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．

16.【答案】， 

【解析】解：由图可知：抛物线的图象与轴的交点坐标为，，

则一元二次方程的解是，．

故答案为：，．

首先根据图象求出抛物线的图象与轴的交点坐标，进而写出一元二次方程的解．

本题考查的是抛物线与轴的交点问题的知识，根据抛物线与轴的交点求出一元二次方程的两个根是解答此题的关键，此题难度不大．

17.【答案】 

【解析】解：根据抛物线与轴两交点坐标为， 

故当函数值时，对应的取值范围上是：．

故答案为：．

根据时，对应的值，再求函数值时，对应的取值范围．

本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．

18.【答案】解：

，

或，

，． 

【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

通过观察方程形式，利用因式分解法解方程比较简单．

19.【答案】解：设二次函数为，

根据题意，得，

解得，

该二次函数的解析式是． 

【解析】将、、代入函数解析式，利用待定系数法求该函数的解析式即可．

本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式．解题时，借用了二次函数图象上点的坐标特征这一知识点．

20.【答案】   

【解析】解：如图，即为所求；

由知，点，，

故答案为：，．

根据中心对称的性质可得；

根据点的位置可得点的坐标．

本题主要考查了作图旋转变换，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．

21.【答案】解：由题意可知：，

．

当时，

，

由求根公式可知：，

，． 

【解析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式即可求出的范围．

把代入求根公式即可求出答案．

本题考查根的判别式，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．

22.【答案】解：设最大利润为元，

则，

，，

当时，二次函数有最大值，

定价是元时，利润最大． 

【解析】本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值．

本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

23.【答案】解：建立直角坐标系如图：

设抛物线为，

由已知抛物线过点，

，

解得，

抛物线为，

当时，，

解得：，，

水面宽度为

答：水面宽度为 

【解析】此题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系得出抛物线解析式是解题关键．

首先建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，先求出解析式，再令，即可得出水面宽度．

24.【答案】解：将和代入，

，

解得：，

抛物线的解析式为：，

顶点坐标为：，

由于抛物线的对称轴为：，

时，

；

设，

的高为，

、，

，

，

，

，

当时，

，

此时方程无解，

当时，

，

解得：或，

或． 

【解析】将与的坐标代入抛物线的解析式即可求出与的值．

根据图象即可求出的取值范围．

设，的高为，，由列出方程即可求出的值，从而可求出的坐标．

本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型．

25.【答案】解：由题意，，，

；

由题意，

或舍去，

秒后，的面积为；

由题意，

解得或舍去．

秒钟后，的面积等于四边形的面积． 

【解析】利用三角形的面积公式求解即可；

构建方程求解即可；

构建方程求解即可．

本题考查四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．