高考数学试题-2018年福建省高考模拟理科数学试卷 最新

数学试题（理科）

      本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分，考试时间120分钟．

命题人：厦门外国语学校   吴育文

注意事项：

1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

    2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．

    3．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚．

    4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

    5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式：

样本数据x1,x2,…,xn的标准差

其中为样本平均数;

    柱体体积公式

    其中S为底面面积,h为高

锥体体积公式

其中S为底面面积,h为高

球的表面积、体积公式

， 

其中R为球的半径

第I卷（选择题  共50分）

一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.每小题都有四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．设，若（为虚数单位）为正实数，则

A．2                B．1                C．0                D． 

2．已知，，，是空间四点，命题甲：，，，四点不共面，命题乙：

   直线和不相交，则甲是乙成立的

A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件

C．充要条件                                D．既不充分也不必要条件

3．曲线，与直线，所围成的平面区域的面积为

A．                        B． 

C．                        D． 

4．下列向量中与向量平行的是

    A．（-4，6）       B．（4，6）      C．（-3，2）     D．（3，2）

5．函数是

    A．奇函数                          B．既是奇函数又是偶函数

    C．偶函数                          D．既不是奇函数也不是偶函数

6．设函数在区间内是减函数，则，，的大小关系是

    A．      B．      C．       D． 

7．设为等差数列｛｝的前n项和，且，则

    A．45             B．50            C．55             D．90

8．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是

A．20%           B．25%

C．6%            D．80%

9．将函数的图像按向量平移得到的图像对应的一个函数解析式是

    A． 

    B． 

   C． 

   D． 

10．设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为

A．48                B．96                C．144                D．192

第Ⅱ卷（非选择题  共100分）

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）

11．命题“，”的否定是         .

12．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组依 

次记为，，，,，则程序运

行结束时输出的最后一个数组为         .

13．曲线在点（1，2）处的切线方程是      ．

14．若实数满足不等式组则3x－y的最小

    值是________.

15．定义：我们把阶乘的定义引申，定义，

   若为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!! = 0。我们称

   之为双阶乘(Double Factorial)对夫妇任意地排成一列，则每

   位丈夫都排在他的妻子后面的概率是________.（结果用含双

   阶乘的形式表示）

三、解答题（本大题有6小题，共74分）

16．（本题满分13分）

某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；

17．（本题满分13分）

如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．

（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

18．（本题满分13分）

   一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一

   圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且

   两组平行墙壁间的走廊宽度都是．

  （1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内

   壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；

  （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．

19．（本题满分13分）

已知椭圆的某个焦点为，双曲线的

某个焦点为．

   （1）请在                      上补充条件，使得椭圆的方程为；

友情提示：不可以补充形如之类的条件。

   （2）命题一：“已知抛物线的焦点为F，定点满足  

    ，以PF为直径的圆交轴于A、B，则直线PA、PB与抛物线相切”．命

题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线，定点P，以PF为直径

的圆交轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．

试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；

   （3）证明命题一的正确性．

20．（本题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；

（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；

（Ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围.

21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.

    (1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换

   求矩阵的特征值及对应的特征向量.

    (2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程

  已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：．

（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）判断直线和圆的位置关系．

    (3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲

  已知函数. 若不等式恒成立，求实数的范围.  

2018年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

理科试题试题参考解答及评分标准

说明：

    一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则.

    二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分.

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．

1．B    2．A    3．D    4．A    5．D    6．D    7．A    8．D    9．D    10．C

二、本大题共4个小题；每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算． 

11．, 12． 13．    14．7    15． 

【15题解析】

      (理解一)排列的总数是.为了计算有利场合的个数，可以这样考虑.首先把n个丈夫进行排列，共有种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插人队伍，她显然只有1种可能的位置，即排在最前面，接着让排在第二位的丈夫的妻子进人队伍.现在她的丈夫之前已有两人，因此她有3种位置可选择.排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有5种位置可选择，依次下去，最后一位丈夫的妻子有个位置可选择.因此有利场合总数是，所以要求的概率是。

       (理解二)对于每个家庭来说，丈夫排在妻子后面的概率都是，有对夫妻，因此概率应该为，下面只要想办法将化简为含有双阶乘形式就可以了。。

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16．解：若按“项目一”投资，设获利万元，则的分布列为

若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为：

又，……………10分

………12分

所以，，

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．………………………………………………………………………………13分

17.

解：（1）线段的中点就是满足条件的点． ……1分

证明如下：

取的中点连结，则

，，     …………………2分

取的中点，连结，

∵且，

∴△是正三角形，∴．

∴四边形为矩形，

∴．又∵，………3分

∴且，

四边形是平行四边形．……………………4分

∴，

而平面，平面，

∴平面．        ……………………6分

（2）（解法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，

∵，

∴，

是平面与平面所成二面角的棱．……8分

∵平面平面，，

∴平面，

又∵平面，∴平面，

∴，

∴是所求二面角的平面角．………………11分

设，则，，

∴，

∴．                 ………………………13分

（解法2）∵，平面平面，

∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．

设，由已知，得，，．

∴，，                     ………………………8分

设平面的法向量为，

则且，

∴

∴

解之得

取，得平面的一个法向量为

.                                  …………………………11分

又∵平面的一个法向量为． 

．…………13分

说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．

18．(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为．

在    中，因为，，

所以．

因为与圆弧切于点，所以，

在，因为，，

所以，，

①若在线段上，则

在    中，，

因此

②若在线段的延长线上，则

在    中，，

因此

．………………………………………6分

（2）设，则，

因此．

因为，又，所以恒成立，

因此函数在是减函数，所以，

即．

答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．

…………………………………………………………………………13分

19.解:

（1）补充一：椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长为

     补充二：椭圆过和

     补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为，且椭圆的一条准线长为

 类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分（2分）

（2）命题一：已知椭圆的某个焦点为F，定点满足，以PF为直径的圆与圆交于A、B两点，则PA、PB与椭圆相切。

…………………………………………………………………………………………5分

    命题二：已知双曲线的某个焦点为，定点满足，以PF为直径的圆与圆交于A、B两点，则PA、PB与双曲线相切。…………………………………………………………………………………………9分

（3）证明：

以PF为直径的圆的方程为，设A，则，直线PA的方程为，即

联立，消去x得到，所以，所以直线PA与抛物线相切。

同理可证PB与抛物线相切。………………………………………………………………13分

20．解：（Ⅰ） 

由于，故当时，，所以，

故函数在上单调递增…………4分

（Ⅱ）当时，因为，且在R上单调递增，

   故有唯一解………………6分

   所以的变化情况如下表所示：

   而，所以，解得…8分

（Ⅲ）因为存在，使得，

所以当时， 

   由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，

   所以当时，，

   而，

   记，因为（当时取等号），

   所以在上单调递增，而，

   所以当时，；当时，，

   也就是当时，；当时，……………13分

   ①当时，由，

   ②当时，由，

综上知，所求的取值范围为………………………………14分

21.解

（1）．解：设A的一个特征值为，由题意知：

………………3分

……5分

……7分

（2）．解：（Ⅰ）消去参数，得直线的普通方程为………………3分

，即，两边同乘以得，

得⊙的直角坐标方程为………………………5分

（Ⅱ）圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交……

7分

（3）．解：由，且，得……3分

又因为，则有2………………5分

解不等式，得…………………… 7分