【必考题】九年级数学上期末试题及答案

一、选择题

1．如图，在5×

5正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )

A ．M

B ．P

C ．Q

D ．R

2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是( )

A ．0＜m ＜1

B ．1＜m ≤2

C ．2＜m ＜4

D ．0＜m ＜4

3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )

A ．6π

B ．3π

C ．2π-12

D ．12

4．如图中∠BOD 的度数是（ ）

A ．150°

B ．125°

C ．110°

D ．55°

5．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )

A ．4－9π

B ．4－π

C ．8－49π

D ．8－

π

6．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）

A ．123y y y >>

B ．132y y y >>

C ．231y y y >>

D ．312y y y >> 7．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）

A ．15

B ．25

C ．35

D ．45

8．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )

A ．68°

B ．58°

C ．72°

D ．56° 9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是

( )

A ．－1＜x ＜2

B ．x ＞2

C ．x ＜－1

D ．x ＜－1或x ＞2

10．若20a ab -=（b ≠0），则

a a

b +=（ ） A ．0 B ．12 C ．0或12 D ．1或 2

11．设,a b 是方程2320170x x +-=的两个实数根，则22a a b +-的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．2020

12．一只布袋里装有4个只有颜色不同的小球，其中3个红球，1个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出1个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（ ）

A ．14

B ．12

C ．23

D ．34

二、填空题

13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__人．

14．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后

7

，则袋中红球约为

________个．

15．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是

_________．

16．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数

表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米精确到1米

17．△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于点D，若BC＝12cm，则⊙A的半径为_____cm．

18．一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为

_____．

19．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是____．

20．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝

2，则图中阴影部分的面积等于_____．

三、解答题

21．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．

（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

22．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．

（1）求证：△DCE∽△DBC；

（2）若CE=5，CD=2，求直径BC的长．

23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案

方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由

24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且

CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．

25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB的延长线于点F．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）如果AB=5，BC=6，求DE的长．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．

【详解】

解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，

它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．

故选：C．

【点睛】

本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．

【详解】

解：当a ＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x 0，1）， ∴x 0＞4，

∴对称轴为x=m 中2＜m ＜4，

故选C ．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．

3．A

解析：A

【解析】

【分析】

先根据勾股定理得到2，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD ，由旋转的性质得到Rt △ADE ≌Rt △ACB ，于是S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD -S △ABC =S 扇形ABD ．

【详解】

∵∠ACB=90°，AC=BC=1，

∴2，

∴S 扇形ABD =(2

302=3606

ππ⨯，

又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，

∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，

∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =

6

π， 故选A.

【点睛】

本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键. 4．C

解析：C

【解析】

试题分析：如图，连接OC ．

∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，故选C ．

【考点】圆周角定理．

5．B

解析：B

【解析】

试题解析：连接AD ，

∵BC 是切线，点D 是切点，

∴AD ⊥BC ，

∴∠EAF=2∠EPF=80°，

∴S 扇形AEF =280?283609

ππ=， S △ABC =12AD•BC=12

×2×4=4， ∴S 阴影部分=S △ABC -S 扇形AEF =4-

π． 6．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质得到抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．

【详解】

解：∵抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，而A （2，y 1）离直线x =﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x =1最近，∴123y y y >>． 故选A ．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．

【解析】

试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到

负数的概率是2 5 .

故选B.

考点：概率.

8．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．

【详解】

∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA

1

2

（180°﹣68°）=56°．

故选D．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），又y＞0时，图象在x 轴的上方，由此可以求出x的取值范围．

【详解】

依题意得图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），

当y＞0时，图象在x轴的上方，

此时x＜－1或x＞2，

∴x的取值范围是x＜－1或x＞2，

故选D．

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用.

10．C

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵20a ab -= ()0b ≠，

∴a(a-b)=0，

∴a=0，b=a ．

当a=0时，原式=0；

当b=a 时，原式=12

，

故选C 11．D

解析：D

【解析】

【分析】

首先根据根与系数的关系，求出a+b=-3；然后根据a 是方程2320170x x +-=的实数根，可得2320170a a +-=，据此求出232017a a +=,利用根与系数关系得：+a b =-3，22a a b +- 变形为（2a 3a +）-（+a b ），代入即可得到答案．

【详解】

解：∵a 、b 是方程2320170x x +-=的两个实数根，

∴+a b =-3；

又∵2320170a a +-=，

∴232017a a +=，

∴22a a b +-

=（2a 3a +）-（+a b ）

=2017-（-3）

=2020

即22a a b +-的值为2020．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的解，把22a a b +-化成（2a 3a +）-（+a b ）是解题的关键．

12．B

解析：B

【解析】

【分析】

画树状图展示所有12种等可能的结果数，再两人摸出的小球颜色相同的结果数然后根据概

率公式求解．

【详解】

解：画树状图如下：

，

一共12种可能，两人摸出的小球颜色相同的有6种情况， 所以两人摸出的小球颜色相同的概率是

612=12

， 故选：B ．

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 二、填空题

13．12【解析】【分析】【详解】解：设平均一人传染了x 人x ＋1＋(x ＋1)x ＝169x ＝12或x ＝－14（舍去）平均一人传染12人故答案为12

解析：12

【解析】

【分析】

【详解】

解：设平均一人传染了x 人，

x ＋1＋(x ＋1)x ＝169

x ＝12或x ＝－14（舍去）．

平均一人传染12人．

故答案为12．

14．25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个所以袋中红球约为35-10=25个考点：简单事件的频率

解析：25

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27

=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.

考点：简单事件的频率.

15．相离【解析】r=2d=3则直线l 与⊙O 的位置关系是相离

解析：相离

【解析】

16．85【解析】由于两盏EF距离水面都是8m因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值故有-140x2+10=8即

x2=80x1=45x2=-45所以两盏警示灯之间的水平

解析：

【解析】

由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就

是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．

故有，

即，．

所以两盏警示灯之间的水平距离为：

17．【解析】【分析】由切线性质知AD⊥BC根据AB＝AC可得BD＝CD＝AD＝BC＝6【详解】解：如图连接AD则AD⊥BC∵AB＝AC∴BD＝CD＝AD＝BC＝6故答案为：6【点睛】本题考查了圆的切线性

解析：【解析】

【分析】

由切线性质知AD⊥BC，根据AB＝AC可得BD＝CD＝AD＝1

2

BC＝6．

【详解】

解：如图，连接AD，则AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD＝AD＝1

2

BC＝6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了圆的切线性质，解题的关键在于掌握圆的切线性质.

18．15【解析】【分析】先解方程求出方程的根再确定等边三角形的边长然后求等边三角形的周长【详解】解：x2﹣3x﹣10＝0（x﹣5）（x+2）＝0即x﹣5＝0或x+2＝0∴x1＝5x2＝﹣2因为方程x2﹣解析：15

【解析】

【分析】

先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长．

【详解】

解：x2﹣3x﹣10＝0，

（x﹣5）（x+2）＝0，

即x﹣5＝0或x+2＝0，

∴x1＝5，x2＝﹣2．

因为方程x2﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，

所以等边三角形的边长为5．

所以该三角形的周长为：5×3＝15．

故答案为：15．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键．

19．π﹣2【解析】【分析】连接CD作DM⊥BCDN⊥AC证明△DMG≌△DNH则S 四边形DGCH=S四边形DMCN求得扇形FDE的面积则阴影部分的面积即可求得【详解】连接CD作DM⊥BCDN⊥AC∵CA

解析：π﹣2．

【解析】

【分析】

连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．

【详解】

连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．

∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=1

2

AB=2，四边形DMCN是正方形，

DM

．

则扇形FDE的面积是：

2

902

360

π⨯

=π．

∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA．

又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．

∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，

∵

DMG DNH

GDM HDN

DM DN

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2．

则阴影部分的面积是：π﹣2．

故答案为π﹣2．

【点睛】

本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明

△DMG ≌△DNH ，得到S 四边形DGCH =S 四边形DMCN 是关键．

20．-1【解析】由题意得ABBC 于DBC 于EBC 交BC 于FAB=勾股定理得AE=AD=1DB=-1 解析：2-1 【解析】 由题意得， AB ⊥B’C’于D ，BC 'AC ⊥于E ,BC 交B’C’于F .

AB =2,勾股定理得∴AE =AD=1，∴DB =2-1

22112122

ABE DBF S S S AE BD =-=-=-阴影.

三、解答题

21．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x －65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元

【解析】

【分析】

（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．

（2）根据利润计算公式列式即可；

（3）进行配方求值即可．

【详解】

（1）设y=kx+b ，根据题意得806010050k b k b =+⎧⎨

=+⎩解得：k 2b 200=-⎧⎨=⎩

∴y=－2x+200（30≤x≤60）

=－2x2+260x－50

=－2（x－65）2 +2000）

（3）W =－2（x－65）2 +2000

∵30≤x≤60

∴x=60时,w有最大值为1950元

∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元

考点：二次函数的应用．

22．（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）由等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，可证△DCE∽△DBC；

（2）由勾股定理可求DE=1，由相似三角形的性质可求BC的长．

【详解】

（1）∵D是弧AC的中点，

∴AD CD

=，

∴∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，

∴△DCE∽△DBC；

（2）∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴DE==1．

∵△DCE∽△DBC，

∴DE EC DC BC

=，

∴1 2 =

∴BC

【点睛】

本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明

△DCE∽△DBC是解答本题的关键．

23．(1) w＝－10x2＋700x－10000;(2) 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大;

(3) A方案利润更高.

【解析】

【分析】

试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可.

（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.

（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较.

【详解】

解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000.

（2）∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250

∴当x＝35时，w有最大值2250，

即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.

（3）A方案利润高,理由如下：

A方案中：20＜x≤30，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而增大，

∴当x=30时，w有最大值，此时，最大值为2000元.

B方案中：，解得x的取值范围为：45≤x≤49.

∵45≤x≤49时，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而减小，

∴当x=45时，w有最大值，此时，最大值为1250元.

∵2000＞1250，

∴A方案利润更高

24．（1）相切，证明见解析；（2）62.

【解析】

【分析】

（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；

（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出

r=3，由tan∠E=OB CD

EB DE

=，推出

3

48

CD

=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决

问题．

【详解】

解：（1）相切，理由如下，

如图，连接OC，

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，

∴△OCB≌△OCD，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴OD⊥DC，

∴DC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，

在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，AB=2r=6，

∵tan∠E=OB CD EB DE

=，

∴3

48

CD =，

∴CD=BC=6，

在Rt△ABC中，AC=2222

6662

AB BC

+=+=．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．

25．（1）相切，理由见解析；（2）DE=12

5

．

【解析】

【分析】

（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；（2）根据勾股定理计算即可．

【详解】

解：（1）相切，

理由如下：

连接AD，OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴CD=BD=1

2 BC．

∵OA=OB，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠CED．

∵DE⊥AC，

∴∠ODE=∠CED=90°．∴OD⊥DE．

∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC=90°，

∴在Rt△ADC中，由勾股定理得,

==4．

∵S ACD=1

2

AD•CD=

1

2

AC•DE，

∴1

2

×4×3=

1

2

×5DE．

∴DE=12

5

．

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、勾股定理等知识.正确大气层造辅助线是解题的关键．