数论高难度练习题-答案版

【1】1013除以一个两位数得到的余数为12，这个两位数有        种可能的取值．

【分析】根据题意可知，这个两位数是的约数，而且大于12；

由于，两位数约数有11、13、77、91，其中11不满足，所以这个两位数有3种可能的取值．

【2】（2009年第七届走美六年级初赛）12345671011121314……20082009除以9，商的个位数字是        。

【分析】首先看这个多位数是否能为9整除，如果不能，它除以9的余数为多少。

由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除。

由于，所以12345671011121314…20082009这个数除以9的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.

那么12345671011121314…20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，

即12345671011121314…20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4.

【3】（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）有一列数：1，3，9，25，69，1，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是          ．

【分析】这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为，所以第2008个数除以6余1．

【3】(2008年101中学考题)除以7的余数是        ．

【分析】除以7的余数为1，，所以，其除以7的余数为：；2008除以7的余数为6，则除以7的余数等于除以7的余数，为1；所以除以7的余数为：．

【4】(第六届走美决赛六年级试题),为非零自然数，且被7整除．的最小值为       

【分析】

因此除以7的余数为5，4，6，2，3，1，六个一循环

同理，1两个一循环，因此被7整除，除以7的余数与除以7的余数的和为7，又要求最小，的最小值为

【5】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？

【分析】由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以能被这个自然数整除.258=2×3×43,显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为，，，所以均不能满足条件.

　　　　当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满足．那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足，其中最大的是．

【6】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？

【分析】设这个数为，则

　　　　,,要消去余数,,,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．

　　　　这样我们先把第二个式子乘以，这样被除数和余数都扩大倍，同理，第三个式子乘以4．

　　　　这样我们可以得到下面的式子：

　　　　这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被整除．

　　　　，，

　　　　．

　　　　经检验等于．

【7】有一类四位数，它们恰好是自己的各位数字之和的83倍，那么这样的四位数有        个．

【分析】因为原四位数恰好是自己的数字和的83倍，而一个数除以9的余数与它的数字和除以9的余数相等，那么这个数与它的数字和的差就是9的倍数，所以本题中原四位数减去它的数字和后(即数字和的82倍)是9的倍数；而，所以数字和是9的倍数，原数是的倍数，

又因为是原数是四位数，各位数字之和最多为36，所以原数至多是83的36倍，也就是至多是747的4倍．

依次检验：符合，而和均不符合．

所以满足条件的四位数只有1个．

【8】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于，所以这个数最小是．

法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，即可符合条件，所以只需要在的基础上加上、、的最小公倍数，得到即为所求的数．

【9】一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？

【分析】注意到，也就是说该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的倍数．

这个数又小于200，因此这个数只可能是，，，

经检验发现只有被9除余1符合要求，因此该数为163．

【10】有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是、、的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？

【分析】仔细观察，可知由于、、恰好分别是、、的倍数，那么、、也分别是、、的倍数，即是、、的公倍数，那么的最小值是，即至少是．

【11】一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在以内，这样的数共有多少个？ 

【分析】一个自然数被5、6、7除余数都是1，那么这个自然数与1的差能被5、6、7都整除．因此这样的自然数就是由5、6、7的公倍数再加1组成的，其中最小的一个是5、6、7的最小公倍数210再加1，即211．然后依次加上210，就得到所有这样的自然数．这些自然数恰好构成首项是211，公差是210的一个等差数列．由于不超过10000，而大于10000．所以在10000以内被5、6、7除时余数是1的自然数中最大值是，这样满足条件的自然数共有47个．

说明：值得注意的是，1被5、6、7除时商数都是零，余数都是1．因此也可以认为1是被5、6、7除余数都是1的自然数．这样本题的答案应该是48．

【12】有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．

【分析】设三个连续自然数中最小的一个为，则其余两个自然数分别为，．

依题意可知：，，，根据整除的性质对这三个算式进行变换：

从上面可以发现应为15、17、19的公倍数．

由于，所以(因为是奇数)，可得．

当时，，，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432．

【13】（第13届日本算术奥林匹克预赛试题高小组）有四个连续的都大于1的整数A、B、C、D（A＜B＜C＜D）。这四个整数按照顺序分别是7、9、11、13的倍数，求符合以上条件的A、B、C、D组合的最小的A。

【分析】令四个数分别是a，a+1,a+2,a+3，则他们分别是7、9、11、13的倍数，则相当于a除以7余0，a除以9余8；a除以11余9；a除以13余10。则2a用9除余7；用11除余7；用13除余7。

且2a是显然还是7的倍数，也可以认为是用7除余7。则(2a-7)是7、9、11、13的倍数。7×9×11×13=9009。

所以2a=9016.a=4508。所以符合条件的a的最小值为4508。

【14】试求的末两位数．

【分析】分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．

            首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0．

            再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又310=27×27×27×3，则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余18，则只需看除以25的余数，可知余数为18；又除以的余数为7，所以原式除以25的余数即为7． 

            两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．

【15】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．

【分析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．

设这个数分解质因数之后为，则根据题意可知，

是3和5的倍数，且除以2余1；

是2和5的倍数，且除以3余2；

是2和3的倍数，且除以5余4．

可以求得、、的最小值分别为15、20、24，

所以这样的自然数最小为．

【16】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？

【分析】根据“和的余数等于余数的和”，将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：

1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期，所以第200被3除所得的余数为0.

【17】（2008年第六届走美五年级初赛第8题）,均为自然数．有____________种不同的取值．

【分析】由可知，+6=2008，=2002。又因为2002=2×7×11×13，而且>6，所以的取值有：3++1=14（种

【18】（2009年第14届华杯赛试题）在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.

【分析】根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a（a﹤57），则这个数为57×a+a=58a。所以58a﹥2009，得到a﹥2009÷58=，由于a为整数，所以a至少为35.又由于a﹤57，所以a最大为56，则a可以为35，36，37，…，56.由于每一个a的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个。

【19】（2009年第七届走美初赛六年级第8题）有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有_________个是5的倍数。

【分析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．

所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．

【20】（2010年第8届希望杯5年级1试第4题，6分）有三个自然数，，，已知除以，得商3余3；除以，得商9余11。则除以，得到的余数是              。

【分析】

所以应该余2.

【21】（1）的余数是      ；

（2）的余数是          ；

（3）计算结果的个数数字是_______；

【分析】（1）因为能被13整除，那么我们观察一下中

           有几个即可，所以。

           所以的余数就和的余数相同，经计算，      

           余数为。

      （2）首先，的余数是；其次我们观察的余数：

           余；余；余1，所以我们看看中有多少个，

           ，所以的余数与余数相同，那么的余

           数是2，所以的余数是。

     （3）我们先观察的个位数字：

          注意到，的个位数字是；的个位数字是；的个位数字是； 

         的个位数字是；的个位数字是；

         我们只需要观察中有多少个就可以了，余。

         所以的个位数字是6。而的个位数字与是一样的，是。

        那么，的个位数字就是的个位数字，就是。

【22】(2008年101中学考题)除以7的余数是        ．

【分析】除以7的余数为1，，所以，其除以7的余数为：；2008除以7的余数为6，则除以7的余数等于除以7的余数，为1；所以除以7的余数为：．

【23】 设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，那么        ．

【分析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以与、、、除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则除以9的余数与除以9的余数相同，而除以9的余数为1，所以除以9的余数为除以9的余数，即为5．

另一方面，由于，所以的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过，即；那么的各位数字之和，的各位数字之和，小于18且除以9的余数为5，那么为5或14，的各位数字之和为5，即．

【24】（1984年第1届迎春杯试题）一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在以内，这样的数共有多少个？ 

【分析】一个自然数被5、6、7除余数都是1，那么这个自然数与1的差能被5、6、7都整除．因此这样的自然数就是由5、6、7的公倍数再加1组成的，其中最小的一个是5、6、7的最小公倍数210再加1，即211．然后依次加上210，就得到所有这样的自然数．这些自然数恰好构成首项是211，公差是210的一个等差数列．由于不超过10000，而大于10000．所以在10000以内被5、6、7除时余数是1的自然数中最大值是，这样满足条件的自然数共有47个．

说明：值得注意的是，1被5、6、7除时商数都是零，余数都是1．因此也可以认为1是被5、6、7除余数都是1的自然数．这样本题的答案应该是48．

【25】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．

【分析】法一：

将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：

由于3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以是符合条件的最小值．

法二：

对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可知除以11的余数为5，所以是满足条件的最小数．

也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8，也就是除以3、5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为，后面的步骤与上面的解法相同．

【26】一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小数．

【分析】本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，根据上面例题可知符合条件的最小偶数是368，所以只要将368加上就能求得符合条件的最小奇数，这个数是．

【拓展】有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数。这三个数中最小的一个是多少？

【分析】三数分别是10，3，4的倍数，最大数

所以最小的数是50

【27】一个自然数被，，除的余数分别是，，，并且三个商数的和是，求这个自然数．

【分析】由于这个数被，，除的余数分别是，，，所以这个数加上后能被，，整除，而，所以这个数加上后是的倍数．由于这个数被，，除的三个商数的和是，那么这个数加上后被，，除的三个商数的和是，

而分别除以、、所得的商之和是，由于，所以这个数加上等于的倍，则这个数是．

【28】有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是、、的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？

【分析】法一：

由是的倍数，得到被除余，由是的倍数，得到被除余，现在相当于一个数除以9余0，除以8余7，除以7余5.运用中国剩余定理求(用逐步满足的方法也可以)：

符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知是满足各个余数条件的最小值，所以至少是．

        法二：

仔细观察，可知由于、、恰好分别是、、的倍数，那么、、也分别是、、的倍数，即是、、的公倍数，那么的最小值是，即至少是．

【29】对任意的自然数，证明能被整除．

【分析】，与互质，因为2903被7除余5，803被7除余5，4被7除余2，261被7除余2，所以，被7除的余数与被7除的余数相等，都为0，故能被整除．

又因为2903被271除余193，803被271除余261，4被271除余193，所以

被271除的余数等于被271除的余数，故 能被整除．

因为与互质，所以能被整除．

【30】（2009年秋季学而思杯六年级试题）三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的三位数中最小的数最大是        。

【分析】设中间数是，三个连续自然数的和是中间数的3倍即3，由13|3得13|，所以中间数能被13整除，而其中最大的数被9除余4，说明中间数被9除余3，从1000往下试能被13整除的数为988，975，…，975符合两个条件。所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是975-1=974.

【31】（第13届迎春杯决赛试题）一个自然数除以19余9，除以23余7．那么这个自然数最小是　　　　．

【分析】这是著名的中国剩余问题，即一元一次同余式组的最小正整数解．

此题直接使用枚举法较为困难，我们可通过逐级满足法来实现之。

首先找到所有符合除以23余7的数可表示为（从数大的开始考虑可以在后面使运算更为简单）。

则有：，所以有：，即。所以有：

，则这个自然数最小是237。

【32】学而思超常班来了四名新同学，分别是哈拉雷、维尼熊、Kitty猫、孙悟空。有一天老师在黑板上写了一个两位数让四位同学猜，他们每个人都说了两句话：

        哈拉雷说：“这个数除以余1；这个数除以余2。”

        维尼熊说：“这个数除以4余3；这个数除以5余4。”

        Kitty猫说：“这个数除以6余5；这个数除以7余6。”

        孙悟空说：“这个数除以8余7；这个数除以9余8。”

        老师说每位同学都只说对了一半，请问这个两位数是多少？

【分析】我们观察到，如果这句话全对，那么我们设这个数为，则能被 

       同时整除。但是我们知道，这是不可能的。我们用假设法：

       假设能被整除，则不能被整除；

       则就能被整除，则就不能被整除；

       而且也不能被整除，则就能被整除；

       这样就不能被整除，则就能被整除。

       这样的话能被整除，最小为，这不是一个两位数，所以这是不

       可能的。

       那么我们知道不能被整除，则能被整除；

       则不能被整除，能被整除；

       则不能被整除，能被整除；

       则不能被整除，能被整除。

       这样的话能被整除，最小为，所以。

【33】算式计算结果的个位数字是多少？

【分析】由于任意自然数除以10的余数均是4个一周期。

则

方法一：

其个位数字为1。

方法二：由于与的个位相同，与的个位相同，其他类似，

而（可只计算个位），这样

【34】有一些自然数，满足：是3的倍数，是5的倍数，是2的倍数。请问：这样的中最小的是多少？

【分析】根据题意，容易知道

根据可知，由于除以3的余数为2、1、2、1、2、1两个一周期，除以3的余数为1、2、0、1、2、 0三个一周期，则满足条件的n的取为：或者；

根据可知，由于除以5的余数为3、4 、2、1四个一周期；除以5的余数为1、2、3、 4、0五个一周期，则合起来20一周期，满足条件的n取值为：或者或者或者

根据可知，n必须为奇数。

则n应同时符合以及或者

当时，27与33均不能表示成的形式，不符合；

当时，

所以的最小值是47。

【35】算式计算结果的末两位数字是多少？

【分析】该数能被25整除且为奇数。所以该数的末两位数字只能为25或者75。

由于

所以末两位数字为25