高中数学 圆锥曲线椭圆教案 苏教版选修1-1

【学习目标】

1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；

2. 掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；

3. 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法。

B级要求

【自学评价】

1.椭圆的定义与方程

椭圆定义：

2．椭圆的标准方程：①焦点在x轴上的方程：，

②焦点在y轴上的方程：

3．椭圆的简单几何性质：

5．已知椭圆过点(3,0),,则椭圆的标准方程为                       。

6．椭圆的长轴长为4，椭圆中心到其准线的距离为，则椭圆的标准方程为                     。

7．如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是           。

【真题解析】(2008·江苏卷) 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径作圆，若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为     ▲     

本题主要考查过圆外一点圆的切线知识、椭圆的离心率，考查运算求解能力、数形结合能力。

【精题演练】

     例1. 求下列椭圆的标准方程

（1）已知椭圆的焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过。

（2）与椭圆有相同焦点，且过点。

（3）椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为。

 [说明]根据已知条件求椭圆方程时，有以下步骤：（1）定位，有条件确定中心，焦点所在坐标轴（即长轴所在坐标轴），从而确定所求方程为椭圆的标准方程，如无法确定焦点所在的坐标轴，要分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论；（2）当根据条件设出椭圆方程后，要设法建立基本量， ，，的方程组，然后求出基本量。

例2.设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值。

[说明]1．椭圆内的直角三角形要注意讨论直角的情况，灵活运用三角形的特殊关系。

2．有关椭圆焦点的问题要注意利用椭圆的定义。

例 3. 已知F1,F2为椭圆的两个焦点, 椭圆上存在一点P，使得PF1PF2,求离心率的范围。

点拨： |PF1|，|PF2|为椭圆的焦半径公式，

如能恰当的运用，常能简捷地使问题获解。

例 4. 在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上，半径为的圆C经过坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

（1）求圆C的方程；

（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足，求点P的坐标。

 [说明] 1．椭圆与圆的几何性质的综合是解析几何考查的新动向。

2．有关椭圆焦点的问题要注意利用椭圆的定义。

例5. 已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．

（1）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；

（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论． 

 [说明] 1．此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中的齐次等式得离心率的范围．

2．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB2＝AF×AC，易由椭圆中的关系推出矛盾．

【要点整合】

1. 待定系数法求椭圆的标准方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遗忘定位—确定焦点所在坐标轴。

2.通过数形结合牢固地掌握椭圆的几何性质，深刻理解椭圆中几何量、、、、等之间的关系并应用于解题。

3.直线与椭圆相交问题的基本解法是利用直线方程和椭圆方程联立消元后转化为关于（或)的一元二次方程，设出交点坐标，借助根与系数的关系进行整体化简；对于中点弦及对称问题运用“点差法”可减少运算量。

4.椭圆的两个定义从不同的角度反映了椭圆的特征。一般地，遇到动点到两顶点的距离问题，应联想椭圆第一定义；遇到一个动点到一定直线距离问题，应联想椭圆第二定义。 

5．友情提醒：

（1）运用椭圆定义时注意椭圆第一定义的条件（两定点间的距离小于定长）。

（2）椭圆的标准方程有两种情形，要防止遗漏。

（3）讨论直线与椭圆相交时，要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性的帮助解题，最后要检验椭圆是否与直线相交。

椭圆

【学习目标】

1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；

2. 掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；

3. 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法。

B级要求

【自学评价】

1.椭圆的定义与方程

椭圆定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹。

平面内到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（e∈（0，1））的点的轨迹。

2．椭圆的标准方程：①焦点在x轴上的方程：，

②焦点在y轴上的方程：（a＞b＞0）。

3．椭圆的简单几何性质：

5．已知椭圆过点(3,0),,则椭圆的标准方程为 或 。

6．椭圆的长轴长为4，椭圆中心到其准线的距离为，则椭圆的标准方程为或。

7．如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是0＜k＜1。

【真题解析】(2008·江苏卷) 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径作圆，若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为     ▲     

本题主要考查过圆外一点圆的切线知识、椭圆的离心率，考查运算求解能力、数形结合能力。

【解】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得。

答案：

【精题演练】

     1. 求下列椭圆的标准方程

（1）已知椭圆的焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过。

（2）与椭圆有相同焦点，且过点。

（3）椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为。

解：（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（），又M(3,2)在椭圆上，由题意，得 

 ，

椭圆的标准方程为

当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（），又M(3,2)在椭圆上，由题意，得 

 ，

椭圆的标准方程为

综上述椭圆的标准方程为或。

（2）椭圆的焦点为 ， 

设所求椭圆的标准方程为（），由题意，得 

          ， 

椭圆的标准方程为

（3）由题意，设AB的直线方程为，根据题意，得

椭圆的标准方程为

[说明]根据已知条件求椭圆方程时，有以下步骤：（1）定位，有条件确定中心，焦点所在坐标轴（即长轴所在坐标轴），从而确定所求方程为椭圆的标准方程，如无法确定焦点所在的坐标轴，要分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论；（2）当根据条件设出椭圆方程后，要设法建立基本量， ，，的方程组，然后求出基本量。

    2.设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值。

解：[法一]：当∠PF2F1900时，由题意，得

，又|PF1|>|PF2|

                         ，

当∠F1PF2900时，同理求得|PF1|4，|PF2|2

[法二]：当∠PF2F1900时， F2坐标为（，0），

， P（）

 |PF2|， |PF1|2-|PF2|

当∠F1PF2900，设P()，由题意，得

 P（），又|PF1|>|PF2|

 P（），4，2

[说明]1．椭圆内的直角三角形要注意讨论直角的情况，灵活运用三角形的特殊关系。

2．有关椭圆焦点的问题要注意利用椭圆的定义。

 3. 已知F1,F2为椭圆的两个焦点, 椭圆上存在一点P，使得PF1PF2,求离心率的范围。

解：设P()，则F1（-，0），F2（，0）

，

又PF1PF2

-1

，

，又

点拨： |PF1|，|PF2|为椭圆的焦半径公式，

如能恰当的运用，常能简捷地使问题获解。

    4. 在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上，半径为的圆C经过坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

（1）求圆C的方程；

（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足，求点P的坐标。

解：（1）由已知可设圆心坐标为，得，所以圆心坐标为，所以圆的方程为

（2）设，由已知得，则， 

解之得：  

[说明] 1．椭圆与圆的几何性质的综合是解析几何考查的新动向。

2．有关椭圆焦点的问题要注意利用椭圆的定义。

5. 已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．

（1）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；

（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论． 

解：（1）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为，．联立方程组，解出，即，即（1＋b）（b－c）>0，∴ b>c． 

从而即有，∴．又，∴． 

（2）直线AB与⊙P不能相切．

由，＝．如果直线AB与⊙P相切，则·＝－1．解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，所以直线AB与⊙P不能相切． 

[说明] 1．此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中的齐次等式得离心率的范围．

2．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB2＝AF×AC，易由椭圆中的关系推出矛盾．

【要点整合】

1. 待定系数法求椭圆的标准方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遗忘定位—确定焦点所在坐标轴。

2.通过数形结合牢固地掌握椭圆的几何性质，深刻理解椭圆中几何量、、、、等之间的关系并应用于解题。

3.直线与椭圆相交问题的基本解法是利用直线方程和椭圆方程联立消元后转化为关于（或)的一元二次方程，设出交点坐标，借助根与系数的关系进行整体化简；对于中点弦及对称问题运用“点差法”可减少运算量。

4.椭圆的两个定义从不同的角度反映了椭圆的特征。一般地，遇到动点到两顶点的距离问题，应联想椭圆第一定义；遇到一个动点到一定直线距离问题，应联想椭圆第二定义。 

5．友情提醒：

（1）运用椭圆定义时注意椭圆第一定义的条件（两定点间的距离小于定长）。

（2）椭圆的标准方程有两种情形，要防止遗漏。

（3）讨论直线与椭圆相交时，要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性的帮助解题，最后要检验椭圆是否与直线相交。

【能力提升】

1. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离是5，则它到左准线的距离为4。

2．若椭圆的离心率，则值或。  

3．（书本P28习题3改编）已知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦AB，若△的周长为16，椭圆的离心率为，则椭圆的方程为。 

4．椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是。

5．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为。

6．以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是。

7．（书本P32练习5改编）已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆的方程。

解：由题意设椭圆的半长轴为，半短轴为，半焦距为

椭圆的标准方程为或

8． 椭圆的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，求P点横坐标的取值范围。 

解：由题意得，，设P到左焦点F1的距离为，P到右焦点F2的距离为，P()-(-),,|PF1|

同理得|PF2|

又F1PF2为钝角

cosF1PF20

9．（书本P297改编）已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作

半径为的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直

线PB交于点M，当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C．

建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线。

解：以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图），

则A(－1,0)，B(1,0).设M(),由题意，得

|MP||MA|,  |BP|，

        |MB|+|MA|    

曲线C是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆，

          其方程为

10．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且

OC=1，OA=a+1(a>1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的

椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与OA交于

点E.

（1）求证：；

（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，

求直线l的方程；

（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，

且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M

的方程．

解：设椭圆的方程为.                   

由消去得.   由于直线l与椭圆相切，故△＝，化简得.          ①                        

（2）由题意知A（，0），B（，1），C（0，1），于是OB的中点为.                           

因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，即，亦即. ②     由①②解得，故直线l的方程为   

（3）由（2）知.因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为.因为圆M在矩形及其内部，所以      ④    

圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以，即. 

代入④得即           

所以圆M面积最大时，，这时，.

故圆M面积最大时的方程为