浙教版2022-2023学年九年级上数学期中培优测试卷(解析版)

（解析版）

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.

1．下列函数中，是二次函数的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】A. 是反比例函数，故此选项错误；

B. 是二次函数，故此选项正确；

C. 是一次函数，故此选项错误；

D. 是正比例函数，故此选项错误．

故答案为：B.

2．台球盒中有7个红球与1个黑球， 从中随机摸出一个台球， 则下列描述符合的是(　　) 

A．一定摸到黑球 B．不可能摸到黑球

C．很可能摸到黑球 D．不大可能摸到黑球

【答案】D

【解析】∵台球盒中有7个红球与1个黑球，

∴从中随机摸出一个台球，摸出黑球的可能性很小，即不大可能摸到黑球.

故答案为：D.

3．如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．则的外心坐标应是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵B点坐标为（2，1），C点坐标为（2，-3），

∴直线BC∥x轴，

∴直线BC的垂直平分线为直线y=-1，

∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，

∴△ABC外心的纵坐标为-1，

设△ABC的外心为P（a，-1），

∴，

∴，

解得，

∴△ABC外心的坐标为（-2，-1），

故答案为：D．

4．在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为

A．20个 B．30个 C．40个 D．50个

【答案】A

【解析】设袋子中有个黑球，

根据题意得，

解得：，

故答案为：A．

5．如图，  中的半径为1，  内接于  .若  ，  ，则  的长是（　　）  

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图，连接OA、OB，过点O作  ，

∵ ，  ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 是等腰三角形，

∴ ，  ，

∴ ，

∴ ，  ，

∴ .

故答案为：B.

6．已知二次函数，当时，对应的函数值y不可能是（　　）

A． B． C．4 D．5

【答案】D

【解析】将抛物线解析式化为顶点式：，

∴抛物线开口向上，且顶点坐标为（2，-5），

∵，

∴y的最小值为-5，

当x=1时，y=-4；

当x=5时，y=4，

∴y的取值为，

故y不可能的值为5.

故答案为：D.

7．用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（　　）

A．6米 B．8米 C．12米 D．米

【答案】A

【解析】设AB的长为x米，则AD的长为米，

由矩形面积公式得：S矩形ABCD＝AD•AB＝x×＝﹣2x2+24x＝﹣2（x﹣6）2+72，

∵48﹣4x＞0，

∴x＜12，

∴0＜x＜12，

∵﹣2＜0，

∴当x＝6时，矩形的面积有最大值.

故答案为：A.

8．已知△  和△  都是等腰直角三角形，  ，  ，  ，  是  的中点．若将△  绕点  旋转一周，则线段  长度的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据旋转的特性，画出E点旋转一圈的轨迹，如图：

结合图形可知：

①当E落在E′位置时，AF最大，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90∘，AC=2  ，AD=1，

∴AB=  =4，  AE=AE＇=  =  ，  BE＇=AB−AE′=4−  ，

∵F是BE′的中点，

∴BF=  BE′=  ，   AF=AB−BF=4−   =  ；

②当E落在E″位置时，AF最小，

∵BE″=AB+AE″=4+  ，且F是BE″的中点，

∴BF=  BE″=  ，

AF=AB−BF=4−  =  .

综合①②可知：   ⩽AF⩽ 

故答案为：A.

9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，有以下结论：①abc>0；②4ac2．其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=  =﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；

②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；

④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，所以④正确．

故答案为：C

10．如图，点A,B,C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A,O,C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE, BE，则  的最大值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．

【答案】C

【解析】当BE为三角形BCE的斜边的时候  C E 2 + B E 2有最大值

∴EC⊥x轴，

∵AO⊥x轴

∴AO=EC=1

则BE2=BC2+CE2=5

 C E 2 + B E 2=1+5=6

故答案选C。

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.

11．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是　     　．

【答案】m≤2

【解析】∵抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有交点

∴b2-4ac≥0

即△=22−4(m−1)=8−4m≥0，

解得：m≤2.

故答案为：m≤2.

12．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）绕点（0，2）顺时针旋转90°后的点的坐标是 　         　．

【答案】（1，4）

【解析】如图所示：AB即为线段BC绕点B顺时针旋转90°后得到线段，

则AB＝BC，

过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥y轴于D，则∠CEB＝∠ADB＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD+∠CBD＝90°，

而∠ABD+∠BAD＝90°，

∴∠CBD＝∠BAD，

在△CBE与△BAD中，

，

∴△CBE≌△BAD（AAS），

∴BD＝CE，AD＝BE，

∵C（﹣2，3），B（0，2），

∴CE＝2，OB＝2，OE＝3，

∴AD＝3﹣2＝1，OD＝OB+BD＝2+2＝4．

则点A的坐标为：（1，4）．

故答案为：（1，4）．

13．综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：

【答案】0.95

【解析】观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.95附近，

故种子发芽的概率约为0.95．

故答案为：0.95．

14．如图，是一个油罐的截面图．已知的直径为，油的最大深度，则油面宽度为　     　．

【答案】4

【解析】连接，

根据直径等于可知，半径，

，

，

，

.

故答案为：4.

15．若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为　             　．

【答案】x＜3或x＞5．

【解析】∵由函数图象可知，当x<1或x>3时，函数图象在x轴的下方，

∴函数y=a（x-2）2+b(x-2)+c<0<0的解集为x<3或x>5.

答案为：x<3或x>5

16．如图，已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC，∠C=90°．连接OB．则OB的最小值为　     　．

【答案】

【解析】如图，作等腰直角三角形△OCO′，CO=CO′，∠OCO′=90°，

∵AC=CB，∠ACB=∠OCO′，

∴△ACO≌△BCO′，

∴OA=O′B，

∴当点C固定时，点B在以O′为圆心OA为半径的圆上运动，

∴当O、B、O′共线时，OB的值最小，最小值=OO′-O′B=2  -2．

故答案为2  -2．

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）

   解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.

17．有A，B，C三种款式的帽子，甲，乙两种款式的围巾，穿戴时小华任意选一顶帽子和一条围巾.

（1）用列表法或树状图表示搭配的所有可能性结果.

（2）求小华恰好选中她所喜欢的A款帽子和乙款围巾的概率.

【答案】（1）解：用列表法表示搭配的所有可能性结果如下： 

共有6种所有可能出现的结果；

（2）解：共有6种所有可能出现的结果，A款帽子和乙款围巾的有1种， 

所以A款帽子和乙款围巾的概率为：  .

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上．

（1）求二次函数的解析式；

（2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围．

【答案】（1）解：∵点A（1，4）在一次函数y＝﹣2x+m上，

∴把点A（1，4）代入y＝﹣2x+m，

得，4＝﹣2×1+m，

解得：m＝6，

∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+6，

令y＝0时，则﹣2x+6＝0，解得：x＝3，

∴点B的坐标为：（3，0），

∵点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上，

∴设二次函数解析式为：，

把点B（3，0）代入，

解得：a＝﹣1，

∴二次函数的解析式为：；

（2）解：由（1）求得二次函数解析式为，

令y＝0，即，

解得：，，

由图像可知x轴上面部分的二次函数值都大于0，且二次函数与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），

∴自变量x的取值范围：．

19．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，CO相交于点E．

（1）求证：  ；  

（2）若AD=16，CE=4，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， 

∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°

∴OC⊥AD，

由垂径定理可知：  ；

（2）解：由（1）可知OC⊥AD， 

又∵AD=16， 

设⊙O的半径为r， ∵CE=4，

∴OE=r-4，

在Rt△AEO中，由勾股定理得   ，

解得：r=10，

∴⊙O的半径为10．

20．如图（1），将线段AB绕点A逆时针旋转2α（0°＜α＜90°）至AC，P是过A，B，C的三点圆上任意一点．

（1）当α=30°时，如图（1），求证：PC=PA+PB；

（2）当α=45°时，如图（2），PA，PB，PC三条线段间是否还具有上述数量关系？若有，请说明理由；若不具有，请探索它们的数量关系．

【答案】（1）证明：如图（1），在PA上截取PD=PA，

∵AB=AC，∠CAB=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠APC=∠CPB=60°，

∴△APD为等边三角形，

∴AP=AD=PD，

∴∠ADC=∠APB=120°，

在△ACD和△ABP中，

∠ADC=∠APB，∠ACD=∠ABP，AD=AP，

∴△ACD≌△ABP（AAS），

∴CD=PB，

∵PC=PD+DC，

∴PC=PA+PB；

（2）PC=  PA+PB，；理由如下：如图（2），作AD⊥AP与PC交于一点D，∵∠BAC=90°，∴∠CAD=∠BAP，在△ACD和△ABP中，

∠CAD=∠BAP，AC=AB，∠ACD=∠ABP，

∴△ACD≌△ABP，

∴CD=PB，AD=AP，根据勾股定理PD=  PA，∴PC=PD+CD=  PA+PB．

21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．

（1）求证：CB//PD；

（2）若∠ABC=55°，求∠P的度数；

（3）若BC=3，BE=2，求CD的长．

【答案】（1）证明：如图，∵

∴∠P=∠C，

∵∠1=∠C，

∴∠1=∠P， 

∴CB//PD； 

（2）解：∵CD⊥AB，  

∴∠CEB=90°，

∵∠CBE=55°，

∴∠C=90°﹣55°=35°，

∴∠P=∠C=35°

（3）解： 

∵

∴

∴DE=CE,CD=2CE=  ．

22．某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍．

（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）解：设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x−5）元，

根据题意得：，

解得：x＝15，

经检验，x＝15是原分式方程的解，符合实际，

∴x−5＝15−5＝10（元），

答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；

（2）解：设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，

由题意得：w＝（15−a）（100＋20a）＝−20a2＋200a＋1500＝−20（a−5）2＋2000，

∵−20＜0，

∴当a＝5时，函数有最大值，最大值是2000元，

答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．

23．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON

（1）求图1中∠MON的度数

（2）图2中∠MON的度数是　     　，图3中∠MON的度数是　     　

（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是　                　

【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则  ，   

 是  内接正三角形，

 中心角  ，

∵点O是  内接正三角形ABC的内心，

∴ ，

∴ ，

在  和  中，  ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：  ；

（2）90°；72°

（3） ．

【解析】（2）如图1，连接OB、OC，

 四边形ABCD是  内接正方形，

 中心角  ，

同（1）的方法可证：  ；

如图2，连接OB、OC，

 五边形ABCDE是  内接正五边形，

 中心角  ，

同（1）的方法可证：  ，

故答案为：  ，  ；

（3）由上可知，  的度数与正三角形边数的关系是  ，

 的度数与正方形边数的关系是  ，

 的度数与正五边形边数的关系是  ，

归纳类推得：  的度数与正n边形边数n的关系是  ，

故答案为：  ．

24．如图，已知已知抛物线  与x轴交于点  和点  ，与y轴交于点C，且  .

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标.

（4）连AC，H是抛物线上一动点，过点H作AC的平行线交x轴于点F，是否这样的点F，使得以A,C,H,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，C（0，3），

将A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax2+bx+3中，

得：  ，解得：  ．

∴所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+3．

（2）解：如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，

设E（m，-m2-2m+3）（-3＜m＜0），

∴EF=-m2-2m+3，BF=m+3，OF=-m，

∴S四边形BOCE=  BF•EF+  （OC+EF）•OF

=  （m+3）•（-m2-2m+3）+  （-m2-2m+3+3）•（-a）

=-  m2-  m+ 

=-  (m+  )2+  ．

∵a=-  ＜0，

∴当m=-  时，S四边形BOCE最大，且最大值为  ，

此时点E的坐标为（-  ，  ）．

（3）解：设点P的坐标为（-1，n），过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M．

①当n＞0时，∵∠NP1A1+∠MP1A=∠NA1P1+∠NP1A1=90°，

∴∠NA1P1=∠MP1A，

在△A1NP1与△P1MA中，  ，

∴△A1NP1≌△P1MA（AAS），

∴A1N=P1M=n，P1N=AM=2，

∴A1（n-1，n+2），

将A1（n-1，n+2）代入y=-x2-2x+3得：n+2=-（x-1）2-2（n-1）+3，

解得：n=1，n=-2（舍去），

此时P1（-1，1）；

②当n＜0时，要使P2A=P2A2，由图可知A2点与B点重合，

∵∠AP2A2=90°，

∴MP2=MA=2，

∴P2（-1，-2），

∴满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2）．

（4）假设存在，设点F的坐标为（t，0），

以A，C，H，F为顶点的平行四边形分两种情况（如图3）：

①当点H在x轴上方时，

∵A（1，0），C（0，3），F（t，0），

∴H（t-1，3），

∵点H在抛物线y=-x2-2x+3上，

∴3=-（t-1）2-2（t-1）+3，

解得：t1=-1，t2=1（舍去），

此时F（-1，0）；

②当点H在x轴下方时，

∵A（1，0），C（0，3），F（t，0），

∴H（t+1，-3），

∵点H在抛物线y=-x2-2x+3上，

∴-3=-1（t+1）2-2（t+1）+3，

解得：t3=-2-  ，t4=-2+  ，

此时F（-2-  ，0）或（-2+  ，0）．

综上可知：存在这样的点F，使得以A，C，H，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，点F的坐标为（-1，0）、（-2-  ，0）或（-2+  ，0）．