带电粒子在电磁场中的运动(正式)解读

寒假补课专题 带电粒子在电磁场中的运动

一、知识结构：

二、典型例题

【例1】如图所示，在直角坐标系的第Ⅰ象限和第Ⅲ象限存在着电场强度均为E的匀强电场，其中第Ⅰ象限电场沿x轴正方向，第Ⅲ象限电场沿y轴负方向．在第Ⅱ象限和第Ⅳ象限存在着磁感应强度均为B的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向里．有一个电子从y轴的P点以垂直于y

轴的初速度v

0进入第Ⅲ象限，第一次到达x轴上时速度方向与x轴负

方向夹角为45°，第一次进入第Ⅰ象限时，与y轴夹角也是45°，经

过一段时间电子又回到了P点，进行周期性运动．已知电子的电荷量

为e，质量为m，不考虑重力和空气阻力．求：

(1)P点距原点O的距离；

(2)电子从P点出发到第一次回到P点所用的时间．

《带电粒子在电磁场中的运动》（第1页） 半径公式：R= mvqB 周期公式：T=2πmqB

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【例2】如图，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从y轴正半轴上y = h处的M点，以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上x = 2h处的P点进入磁场，最后以垂直于y轴的方向射出磁场。不计粒子重力。求

（1）电场强度大小E ；

（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；

（3）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t。

【例3】如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于纸面向里。x轴下方有一匀强电场，电场强度为E、方向与y轴的夹角θ=450斜向上方。现有一质量为m、带电量为q的正离子，以速度V0由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点（图中未画出）进入电场区域，离子经C点时的速度方向与电场方向相

反。设磁场和电场区域均足够大，不计离子的重力，求：

（1）离子从A点出发到第一次穿越x轴时的运动时间；

（2）C点到坐标原点O的距离；

（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电

场方向的夹角。并大致画出离子前四次穿越x轴在磁场

和电场区域中的运动轨迹。

《带电粒子在电磁场中的运动》（第2页）

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【例4】如图甲所示，带正电粒子以水平速度v0从平行金属板MN间中线OO 连续射入电场中。MN板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压uMN，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，分界线为CD，EF为屏幕。金属板间距为d，长度为l，磁场B的宽度为d。已知：B=5×10-3T，l = d =0.2m，每个带正电粒子的速度v0=105m/s，比荷为q/m=108C/T，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。 （1）t=0时刻射入电场的带电粒子在磁场中的运动轨迹。 （2）离开电场的粒子的最大速度。 （3）带电粒子打在屏幕EF上的范围。

图乙

《带电粒子在电磁场中的运动》（第3页）

′

图甲

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【例5】有一个带正电的小球，质量为m、电荷量为q，静止在固定的绝缘支架上．现设法给小球一个瞬时的初速度v0使小球水平飞出，飞出时小球的电荷量没有改变．同一竖直面内,有一个竖直固定放置的圆环(圆环平面保持水平)，环的直径略大于小球直径,如图8－4所示．空间所有区域分布着竖直方向的匀强电场，垂直纸面的匀强磁场分布在竖直方向的带状区域中,小球从固定的绝缘支架水平飞出后先做匀速直线运动，后做匀速圆周运动，竖直进入圆环．已知固定的绝缘支架与固定放置的圆环之间水平距离为2s，支架放小球处与圆环之间的竖直距离为s，v0＞2gs，小球所受重力不能忽略．求：

(1)空间所有区域分布的匀强电场的电场强度E的大小和方向．

(2)垂直纸面的匀强磁场区域的最小宽度,磁场磁感应强度B的大小和方向．

(3)小球从固定的绝缘支架水平飞出到运动到圆环的时间t.

【例6】如图8－5所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B1＝0.20 T，方向垂直纸面向里，电场强度E1＝1.0×105 V/m，PQ为板间中线．紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限内，有一边界线AO，与y轴的夹角∠AOy＝45°,边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.25 T,边界线的下方有水平向右的匀强电场,电场强度E2＝5.0×105 V/m，在x轴上固定一水平的荧光屏．一束带电荷量q＝8.0×10

位置C.求：

(1)离子在平行板间运动的速度大小．

(2)离子打到荧光屏上的位置C的坐标.

(3)现只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小,使离子都不

能打到x轴上,磁感应强度大小B2′应满足什么条件？

《带电粒子在电磁场中的运动》（第4页） －19 C、质量m＝8.0×10－26 kg的正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为(0,0.4 m)的Q点垂直y轴射入磁场区，最后打到水平的荧光屏上的

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三、巩固练习

1、如图所示，在界面MN两侧有两个方向相同的匀强磁场，磁感应强度分别为B1和B2，并且B2＝2B1，有一质

量为m的粒子，带电量为+q，以某一速度垂直于磁场方向并垂直于界面从S点射入.试计算当粒子从S点射入后到第三次通过界面所经过的时间.

2、如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限中分布着沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限内分布着垂直纸面方向的匀强磁场。一个质量为m0，电量为q的正粒子（不计重力）在A（0，3）点平行x轴入射，初速vA=120 m/s，该粒子从电场进入磁场，又从磁场进入电场，并且只通过x轴上的点P（4.5，0）及Q（8，0）各一次，已知该粒子的荷质比为q/m0= 10 C/kg。求：

（1）电场强度的大小；

（2）磁感应强度的大小和方向；

（3）粒子在磁场中运动的时间。

3、如图所示，平面坐标系xOy中，在y>0的区域存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在-h度方向与x轴夹角为φ=30°进入磁场区域Ⅰ，并以垂直边界y=-h的速

度进入磁场区域Ⅱ，粒子重力不计。试求：

（1）粒子经过C点时的速度大小v；

（2）A、C两点与D点间的距离y0、x0；

（3）粒子从A点出发，经过多长时间可回到y =y0处？

《带电粒子在电磁场中的运动》（第5页）

8

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4、如图所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为E和

E2

；Ⅱ区域

内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、带电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边界O点正上方的M点以速度v0水平射入电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中。求： （1）粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径 （2）O、M间的距离

（3）粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间

5、如图，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小未知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R。若该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，而第五次经过直线MN时恰好又通过O点。不计粒子的重力。求： ⑴电场强度的大小；

⑵该粒子再次从O点进入磁场后，运动轨道的半径； ⑶该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间。

《带电粒子在电磁场中的运动》（第6页）

B

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中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ = 30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求： （1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围.

（2） 如果带电粒子不受上述v0大小范围的，求粒子在磁场中运

动的最长时间.

7、如图，在宽度分别为l1和l2的两个毗邻的条形区域分别有匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面向里，电场方向与电、磁场分界线平行向右。一带正电荷的粒子以速率v从磁场区域上边界的P点斜射入磁场，然后以垂直于电、磁场分界线的方向进入电场，最后从电场边界上的Q点射出。已知PQ垂直于电场方向，粒子轨迹与电、磁场分界线的交点到PQ的距离为d。不计重力,求电场强度与磁感应强度大小之比及粒子在磁场与电场中运动时间之比。

《带电粒子在电磁场中的运动》（第7页）

a

b

c

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、如下图，在0≤x≤区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一

位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=

t0时刻刚好从磁场边界上P,a)点离开磁场。求：

⑴ 粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m；

⑵ 此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

9、如图所示，真空室内存在宽度为d=8cm的匀强磁场区域，磁感应强度B=0.332T，磁场方向垂直于纸面向里；ab、cd足够长，cd为厚度不计的金箔，金箔右侧有一匀强电场区域，电场强度E=3.32×105N/C；方向与金箔成37°角.紧挨边界ab放一点状α粒子放射源S，可沿纸面向各个方向均匀放射初速率相同的α粒子，已知：α粒子的质量m=6.×10－27kg，电荷量q = 3.2×10－19C，初速度v = 3.2×106m/s。（sin37°= 0.6，cos37°= 0.8）求：

（1）α粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径R； （2）金箔cd被α粒子射中区域的长度L；

（3）设打在金箔上d端离cd中心最远的α粒子穿出金箔进入电场，在电场中运动通过N点，SN⊥ab且SN = 40cm，则此α粒子从金箔上穿出时，损失的动能△EK为多少？

《带电粒子在电磁场中的运动》（第8页）

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10、在水平光滑的绝缘桌面内建立如图所示的直角坐标系，将第Ⅰ、Ⅱ象限称为区域一，第Ⅲ、Ⅳ象限称为区域二，其中一个区域内只有匀强电场，另一个区域内只有大小为2×10－2T、方向垂直桌面的匀强磁场.把一个荷质比为q

m=2×108C／kg的正电荷从坐标为(0，－l)的A点处由静止

释放，电荷以一定的速度从坐标为(1，0)的C点第一次经x轴进入区域

一，经过一段时间，从坐标原点O再次回到区域二．

(1)指出哪个区域是电场、哪个区域是磁场以及电场和磁场的方向．

(2)求电场强度的大小．

(3)求电荷第三次经过x轴的位置．

11、如图所示，磁感应强度大小B=0.15T，方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R=0.10m的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系的原点O，右端边界MN相切于x轴的A点。MN右侧有方向平行于x轴负方向的匀强电场。置于原点O的粒子源，可沿x轴正方向射出速度v=3.0×106m/s的带正电的粒子流，荷质比q/m=1.0×108c/kg，粒子重力不计。右侧场强大小E=2.0×105V/m。现以过O点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场区域按逆时针方向缓慢旋转90º。

（1）此过程中粒子经过磁场后，途经MN进入电场，求：粒子经过MN时

离A点最远的位置B到A点的距离L1；

（2）通过B点的粒子进入电场后，再次经过MN时距B点的距离L2为多

大？

《带电粒子在电磁场中的运动》（第9页）

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12、在相同速率平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标原点不断以沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于xoy平面向

内、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向

x轴正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

13、如图所示，真空中有（r，0）为圆心，半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y=r的虚线上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E，从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内，设质子在磁场中的偏转半径也为r，已知质子的电量为e，质量为m，不计重力及阻力的作用，求

（1）质子射入磁场时的速度大小

（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间

（3）速度方向与x轴正方向成负30°角（如图中所示）射入磁场的质子，

到达y轴的位置坐标。

（4）速度方向与x轴下方向成正30°角，且电场方向竖起向下，试分析质

子的运动轨迹，并计算质子从进入磁场到最终离开磁场的时间。

《带电粒子在电磁场中的运动》（第10页）

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14、如图所示，真空有一个半径r=0.5m的圆形磁场,与坐标原点相切,磁场的磁感应强度大小B=2×10-３T,方向垂直于纸面向里,在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度为L1=0.5m的匀强电场区域，电场强度

E=1.5×10N/C.在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的荷质比q

m

能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求： ３=1×10C/kg带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰9

（1）粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动的时

间？

（2）速度方向与y轴正方向成30°（如图中所示）射

入磁场的粒子，最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐

标。

15、如图，xoy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一个质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M

(，a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xoy平面(纸面)向里垂直，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求： ⑴电场强度的大小；⑵N点的坐标； ⑶矩形磁场的最小面积．

《带电粒子在电磁场中的运动》（第11页）

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16、如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1， E的大小为0.5×103V/m, B1大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重合．一质量

m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正

方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B2区域．一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为(0，-10)，N点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，

g取10m/s2．

(1)请分析判断匀强电场E1的方向并求出微粒的运动速度v； (2)匀强磁场B2的大小为多大？； (3) B2磁场区域的最小面积为多少？

17、如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0~3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时，刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、l0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况） （1

）求电压U的大小。 （2）求

1

2

中做圆周运动的半径。

时进入两板间的带电粒子在磁场

v0

(3)何时把两板间的带电粒子在磁场中的 运动时间最短？求此最短时间。

《带电粒子在电磁场中的运动》（第12页）

图甲

图乙

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答案

例1

《带电粒子在电磁场中的运动》（第13页）

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例2:粒子的运动轨迹如右图所示 （1分）

（1）设粒子在电场中运动的时间为t1

x、y方向 2h = v0t1 （2分）

根据牛顿第二定律 Eq = ma （1分）

求出

（1分）

（1分） （2）根据动能定理

设粒子进入磁场时速度为v，根据 （1分）

求出

（1分）

（3）粒子在电场中运动的时间

（1分）

粒子在磁场中运动的周期

（1分）

设粒子在磁场中运动的时间为t2 （1分）

求出

例3:

（1分）

《带电粒子在电磁场中的运动》（第14页）

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例4:（1）t=0时刻射入电场的带电粒子粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小。 粒子在磁场中运动时 qv0B=

mv0qB

2

------2分

则带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径 rmin=

mv0qB

=

10

8

5

-3

m=o.2m-----2分

10⨯5⨯10

其运动的径迹如图中曲线Ⅰ所示。

（2）设两板间电压为U1，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有

d2=12at

2

=

1U1ql2

⋅() ----------2分 2dmv0

代入数据，解得 U1=100V --------------------------2分

在电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出电场，电压高于100V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为vmax，则有

12mvmax=

2

12

mv0+q⋅

5

2

U12

----------------------2分

5

解得 vmax=

2⨯10m/s=1.414⨯10m/s---------------------2分

（3）由第（1）问计算可知，t=0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径

rmin=d=0.2m，径迹恰与屏幕相切，设切点为E，E为带电粒子打在屏幕上的最高点，则

O'E=rmin=0.2m-------------------------------2分

带电粒子射出电场时的速度最大，在磁场中做圆周运动的半径最大，打在屏幕上的位置最低。

设带电粒子以最大速度射出电场进入磁场中做圆周运动的半径为rmax，打在屏幕上的位置为F，运动径迹如图中曲线Ⅱ所示。qvmaxB=

mvmaxrmax

2

------------------------------------------------2分

《带电粒子在电磁场中的运动》（第15页）

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则带电粒子进入磁场做圆周运动的最大半径rmax=mvmaxqB=2⨯10

85-310⨯5⨯10m=o.22m----2分

由数学知识可得运动径迹的圆心必落在屏幕上，如图中Q点所示，并且Q点必与M板在同一水平线上。 则 O'Q=d

2=0.2

2m=0.1m-------2分

带电粒子打在屏幕EF上的范围为EF=rmin+(rmax-O'Q)=(0.2+0.22-0.1)m=0.38m---------2分

例5:

解析：(1)小球水平飞出，由平衡条件得mg＝qE

解得电场强度E＝mg q方向竖直向上．

(2)如图所示，由题意可知，垂直纸面的匀强磁场区域最小宽度为s

要使小球准确进入圆环，所加磁场的方向为垂直纸面向外．

由于重力与电场力平衡，带电小球进入磁场后在洛伦兹力作用下做圆周运动，

mv2

0mv0轨道半径R＝s，则qv0B＝解得磁感应强度Bsqs

(3)小球从运动开始到进入磁场的时间t1在磁场中运动时间t2＝sv0πs2v0

sπ小球到达圆环总时间t＝t1＋t2⎛1＋⎫. v0⎝2⎭

例6: (1)设离子的速度为v，由于沿中线PQ做直线运动，则有qE1＝qvB1

代入数据解得v＝5.0×105 m/s.

v2 (2)离子进入磁场B2，做圆周运动，由牛顿第二定律有qvB2＝r

可得r＝0.2 m

作出离子的运动轨迹，交OA边界于N，如图所示，OQ＝2r，若磁场无边界，

一定通过O点，则圆弧QN的圆周角为45°，则轨迹圆弧的圆心角为θ＝90°，

过N点作圆弧切线，方向竖直向下，离子垂直电场线进入电场，做类平抛运动

y＝OO′＝vt，x＝2

而a＝12E2qx＝0.4 m m

离子打到荧光屏上的位置C的水平坐标为

xC＝0.2＋0.4＝0.6(m)．

(3)如图所示，由几何关系可知使离子不能打到x轴上的最大半径

0.4r′＝＋1

设使离子都不能打到x轴上，最小的磁感应强度大小为B0，则

v2

qvB0＝mr′

代入数据解得B0＝

则B2′≥0.3 T.

《带电粒子在电磁场中的运动》（第16页） 2＋1

＝

0.3 T 8