高中数学新课 圆锥曲线方程 教案 (4)

教学目的：

1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系

2.使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决

教学重点：运用中间变量法求动点的轨迹

教学难点：运用中间变量法求动点的轨迹

授课类型：新授课 

课时安排：1课时 

教    具：多媒体、实物投影仪 

教学过程：

一、复习引入：

1 椭圆定义：

平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 

注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定

在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)

2.椭圆标准方程：

（1）

它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程   其中

（2）

它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是,中心在坐标原点的椭圆方程   其中

在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小) 

二、讲解范例：

例1 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹）

解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为 

因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

所以有  ，即  

所以点的轨迹是椭圆，方程是

（2）当M分 PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为 

因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

所以有  ，即  

所以点的轨迹是椭圆，方程是

例2 已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程

解：设动点的坐标为，则的坐标为 

因为点为椭圆上的点，

所以有  ，即

所以点的轨迹方程是

例3 长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程

解：设动点的坐标为，则的坐标为的坐标为 

因为，

所以有  ，即

所以点的轨迹方程是

例4  已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程 

    分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：   

    上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆 

    解  已知圆可化为： 

圆心Q(3，0)，，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以，

即，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心M的轨迹方程是：  

三、课堂练习：

（1）已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是  （    ）

A.2        B.3      C.5         D.7      答案：D

（2）已知椭圆方程为,那么它的焦距是  （    ）

A.6        B.3       C.3     D.   答案：A

（3）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是  

A.（0，+∞） B.(0,2)C.(1,+∞)  D.(0,1)   答案：D

(4)已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（），则椭圆标准方程是_____ 答案： 

（5）过点A（-1，-2）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是____     答案： 

（6）过点P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是______

答案： 

四、小结 ：用转移法求轨迹方程的方法  转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系   

五、课后作业：

1．已知圆＝１，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹.

选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.

解：设点M的坐标为，则点P的坐标为.

∵P在圆上，∴，即.

∴点M的轨迹是一个椭圆

2．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.

选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.

解：设顶点A的坐标为.

依题意得，

∴顶点A的轨迹方程为  .

说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去.

3．已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，且｜｜是｜｜和｜｜的等差中项.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点P在第三象限，且∠＝120°，求.选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.

解：(1)由题设｜｜＋｜｜＝２｜｜＝4

∴， 2c=2，   ∴ｂ＝

∴椭圆的方程为.

（２）设∠，则∠＝60°－θ

由正弦定理得： 

由等比定理得： 

整理得：   故

.

说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答

六、板书设计（略）

七、课后记：