2011-2012学年第一学期高等数学期末考试试卷

一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．已知当时，与是等价无穷小，则常数         。

答案： 

2．，则                 。

答案： 

3．微分方程的通解为             。

答案： 

4．                    。

答案： 

二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．如果处处可导，则（  B   ）。

；     ；；   。

2．函数在处连续，且取得极大值，则在处必有（ C   ）。

；            

；      。

3．若为的一个原函数，则（ D   ）。

；   ；    ；   。

4．微分方程的通解是(  A   )。  

；      ；

；       ；

三、解答下列各题（本大题共2小题，共14分）

1．（本小题7分）

求极限

解： =   3分

                           7分

2．（本小题7分）

设，求。

解：取对数                         2分

两边对求导：       5分

  7分

四、解答下列各题（本大题共4小题，共28分）

1．（本小题7分）

，求的极值及在上的最值。

解：                   2分

则，令，解得

，，所以时，的极大值是；

，所以时，的极小值是；      5分

，，比较得在上的最大值是，最小值是。

                                                     7分

2．（本小题7分）

。

解：令，

   5分

                                        7分

3．（本小题7分）

，计算。

解：              3分

                              7分

4．（本小题7分）

求积分。

解：  4分

                                    7分

五、解答下列各题（本大题共3小题，共26分）

1．（本小题9分）

求由曲线，轴及该曲线过原点的切线所围成平面图形的面积。

解：设切点为，则切线方程

又切线过原点，将代入得切点，则切线        5分

                              9分

2．（本小题9分）

求微分方程的通解。

解：齐方程的特征方程，特征根

齐方程的通解是                           4分

设非齐次方程的一个特解为，代入原方程

解得，故              8分

非齐次方程的通解；        9分

3．（本小题8分）设可导，且，，证明。

证明：令，则

      3分