小学奥数鸡兔同笼问题

第十一讲   鸡兔同笼问题

“鸡兔同笼”问题小朋友们听说过吗这是一类着名的数学问题。比如：“鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中各有多少只鸡兔”鸡兔同笼问题的特点是：题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。解题时，首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系，用一个未知数代替另一个未知数，从而将两个未知数装化为一个未知数，从而解出答案。

典型例题

例【1】  鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中鸡兔各有多少只

分析  题目中给出了鸡、兔共45只。如果假设这45只全都是兔子，那么就应该有180只脚。而题目只告诉我们有146只脚，我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。为什么呢因为一只鸡是两只脚，而我们把它当成4只脚算了。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少2之脚，那么，34只脚里包含多少个2只脚，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然34÷2＝17（只）。所以鸡有17只，兔子有28只。当然，我们也可以把45只都假设成是鸡，把以上问题反过来考虑。

解法一  假设全是兔子。

（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）——鸡

45－17＝28（只）——兔

解法二  假设全是鸡。

（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）——兔

45－28＝17（只）——鸡

答：鸡有17只，兔子有28只。

例【2】  盒子里有大、小两种共30个，共重266克，已知大每个11克，小每个7克。盒中大、小各有多少个

分析  假设全部都是大，则共重：11×30＝330（克）；

比原来的克数重：330－266＝（克）；

小的个数是：÷（11－7）＝16（个）

大的个数是：30－16＝14（个）

同样，也可以假设全部都是小。算法一样。

解法一   假设全是大。

（30×11－266）÷（11－7）＝16（个）——小

30－16＝14（个）——大

解法二   假设全是小。 

（266－30×7）÷（11－7）＝14（个）——大

30－14＝16（个）——小

例【3】  一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张

分析  先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是2000分，比原来的总值多120分。而多的120分，是把10分一张的看作是20分的一张的，每张多算10分。因此可以先求出10分一张的邮票有多少张。

解  10分一张的邮票的张数有：

（2000－1880）÷（20－10）＝12（张）

20分一张的邮票张数有：

100－12＝88（张）

答：10分一张的邮票有12张，20分一张的邮票有88张。

例【4】  学校买来3个排球和2个足球，共花去111元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球和每个足球各多少元

分析  根据“每个足球比每个排球贵3元”可知，当把买2个足球换成买2个排球时，买球共花的钱就会比原来少6元，现在买的是（3＋2）个排球，因此，可以求出每个排球的价钱。

解  每个排球的价钱：

（111－3×2）÷（3＋2）＝21（元）

每个足球的价钱：

21＋3＝24（元）

答：每个排球的价钱是21元，每个足球的价钱是24元。

同样，这道题也可以将3个排球换成3个足球来考虑。

例【5】  买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花17元，问两种笔每支各多少元

分析  根据“买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱”，可知“买1支钢笔的价钱等于买4支圆珠笔的价钱”，买3支钢笔的价钱可以买（4×3）支圆珠笔。这样，我们就可以将买钢笔的支数转换为买圆珠笔的支数了。从而顺利地求出每支圆珠笔的价钱。

解  一支圆珠笔的价钱：

5＋（8÷2）×3＝17（支）

17÷17＝1（元）

一支钢笔的价钱：

1×8÷2＝4（元）

答：一支钢笔4元，一支圆珠笔1元。

    小结  解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、“转换法”、“置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算，直到求出结果。

概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是：

鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）

兔数＝鸡兔总数－鸡数