2021年四川省绵阳市中考数学真题及答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。

1．整式﹣3xy2的系数是（　　）

A．﹣3    B．3    C．﹣3x    D．3x

2．计算×的结果是（　　）

A．6    B．6    C．6    D．6

3．下列图形中，轴对称图形的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

4．如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（　　）

A．2    B．3    C．    D．

5．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　）

A．1    B．    C．    D．2

6．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（　　）

A．60件    B．66件    C．68件    D．72件

7．下列数中，在与之间的是（　　）

A．3    B．4    C．5    D．6

8．某同学连续7天测得体温（单位：℃）分别是36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（　　）

A．众数是36.3    B．中位数是36.6    

C．方差是0.08    D．方差是0.09

9．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（　　）

A．22°    B．23°    C．25°    D．27°

10．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（　　）

A．11.4    B．11.6    C．12.4    D．12.6

11．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）

A．1    B．    C．    D．2

12．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.

13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝28°，则∠2＝　     　．

14．（4分）据统计，截止2021年3月，中国党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为 　        　．

15．（4分）若x﹣y＝，xy＝﹣，则x2﹣y2＝　 　．

16．（4分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 　    　元．

17．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝　 　．

18．（4分）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是 　            　．

三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19．（16分）（1）计算：2cos45°+|﹣|﹣20210﹣；

（2）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝1.12，y＝0.68．

20．（12分）为庆祝中国党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．

（1）在统计表中，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；

（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；

（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．

21．（12分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．

（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？

（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？

22．（12分）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．

（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；

（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．

（1）求点C和点E的坐标及k的值；

（2）连接BE，求△MBE的面积．

24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD＞1，CD＝1．

（1）求证：△DBC∽△AMD；

（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；

（3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．

25．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．

（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；

（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；

（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．

2021年四川省绵阳市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。

1．整式﹣3xy2的系数是（　　）

A．﹣3    B．3    C．﹣3x    D．3x

【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，依此即可求解．

【解答】解：整式﹣3xy2的系数是﹣3．

故选：A．

2．计算×的结果是（　　）

A．6    B．6    C．6    D．6

【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．

【解答】解：×

＝

＝

＝6，

故选：D．

3．下列图形中，轴对称图形的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．

【解答】解：第1个图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

第2个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；

第3个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；

第4个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：C．

4．如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（　　）

A．2    B．3    C．    D．

【分析】易得圆锥的母线长和底面半径，根据勾股定理把相关数值代入即可求解．

【解答】解：∵某圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，

∴圆锥的底面半径为2÷2＝1，母线长为2，

∴此圆锥的高是＝．

故选：D．

5．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　）

A．1    B．    C．    D．2

【分析】由正方形的性质得出DC＝CB，∠DCE＝∠CBF＝90°，由ASA证得△DCE≌△CBF，即可得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，

Rt△DCE中，∠CDE＝30°，

∴CE＝DE，

设CE＝x，则DE＝2x，

根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，

即32+x2＝（2x）2，

解得：x＝±（负值舍去），

∴CE＝，

∵DE⊥CF，

∴∠DOC＝90°，

∴∠DCO＝60°，

∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，

∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，

∴△DCE≌△CBF（ASA），

∴BF＝CE＝．

故选：C．

6．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（　　）

A．60件    B．66件    C．68件    D．72件

【分析】设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10x+6）中即可求出该分派站现有包裹数．

【解答】解：设该分派站有x个快递员，

依题意得：10x+6＝12x﹣6，

解得：x＝6，

∴10x+6＝10×6+6＝66，

即该分派站现有包裹66件．

故选：B．

7．下列数中，在与之间的是（　　）

A．3    B．4    C．5    D．6

【分析】根据＞，＝4，＜，＝6，即可进行解答．

【解答】解：因为＞，＝4，＜，

＝4，＝6，

所以4＜＜＜6．

故选：C．

8．某同学连续7天测得体温（单位：℃）分别是36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（　　）

A．众数是36.3    B．中位数是36.6    

C．方差是0.08    D．方差是0.09

【分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出方差．

【解答】解：7个数中36.5、36.7和37.1都出现了二次，次数最多，即众数为36.5、36.7和37.1，故A选项不正确，不符合题意；

将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.5，36.5，36.7，36.7，37.1，37.1，则中位数为36.7，故B选项错误，不符合题意；

＝×（36.5+36.3+36.5+36.7+36.7+37.1+37.1）＝36.7，

S2＝[（36.3﹣36.7）2+2×（36.5﹣36.7）2+2×（36.7﹣36.7）2+2×（37.1﹣36.7）2]＝0.08，故C选项正确，符合题意，故D选项错误，不符合题意；

故选：C．

9．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（　　）

A．22°    B．23°    C．25°    D．27°

【分析】作辅助线，构建矩形，得P是MN的中点，则MP＝NP＝CP，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可解答．

【解答】解：如图，过点M作MG⊥BC于M，过点N作NG⊥AC于N，连接CG交MN于H，

∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，

∴四边形CMGN是矩形，

∴CH＝CG＝MN，

∵PC＝MN，

存在两种情况：

如图，CP＝CP1＝MN，

①P是MN中点时，

∴MP＝NP＝CP，

∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMN＝∠PCM＝90°﹣50°＝40°，

∴∠CPM＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°，

∵∠CPB＝117°，

∴∠BPM＝117°﹣100°＝17°，

∵∠PMC＝∠PBM+∠BPM，

∴∠PBM＝40°﹣17°＝23°，

∴∠ABP＝45°﹣23°＝22°．

②CP1＝MN，

∴CP＝CP1，

∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，

∵∠BP1C＝117°，

∴∠BP1M＝117°﹣80°＝37°，

∴∠MBP1＝40°﹣37°＝3°，

而图中∠MBP1＞∠MBP，所以此种情况不符合题意．

故选：A．

10．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（　　）

A．11.4    B．11.6    C．12.4    D．12.6

【分析】如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T．想办法求出OB的长即可．

【解答】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T．

∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，

∴AJ＝JC＝3，

∴DJ＝＝＝4，

∵CD∥AT．

∴∠DCJ＝∠TAJ，

∵∠DJC＝∠TJA，

∴△DCJ≌△TAJ（ASA），

∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，

∵∠AJT＝∠ACB＝90°，

∴JT∥BC，

∵AJ＝JC，

∴AT＝TB＝5，

设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，

∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，

解得x＝1.4，

∴OB＝OA+AB＝1.4，

∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，

∴m＝OB＝11.4，

故选：A．

11．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）

A．1    B．    C．    D．2

【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣，由x2＝2x1得出3x1＝﹣，即x1＝﹣，代入方程得到9ac＝2b2，代入代数式即可得到4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，从而求得4b﹣9ac的最大值是2．

【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，

∴x1+x2＝﹣，

∵x2＝2x1，

∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，

∴a+b•（﹣）+c＝0，

∴﹣+c＝0，

∴9ac＝2b2，

∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，

∵﹣2＜0，

∴4b﹣9ac的最大值是2，

故选：D．

12．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据相似三角形的性质得到，得到BD＝4（负值舍去），AB＝BD＝4，过B作BH⊥AD于H，根据等腰三角形的性质得到AH＝AD＝3，根据勾股定理得到BH＝＝＝，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵△DAB∽△DCA，

∴，

∴，

解得：BD＝4（负值舍去），

∵△DAB∽△DCA，

∴，

∴AC＝，

∵AC2＝AB（AB+BC），

∴（AB）2＝AB（AB+BC），

∴AB＝4，

∴AB＝BD＝4，

过B作BH⊥AD于H，

∴AH＝AD＝3，

∴BH＝＝＝，

∵AD＝3AP，AD＝6，

∴AP＝2，

当PQ⊥AB时，PQ的值最小，

∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，

∴△APQ∽△ABH，

∴，

∴＝，

∴PQ＝，

故选：A．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.

13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝28°，则∠2＝　152°　．

【分析】利用平行线的性质可得∠3＝∠1＝28°，再利用邻补角即可求∠2的度数．

【解答】解：如图，

∵a∥b，∠1＝28°，

∴∠3＝∠1＝28°，

∴∠2＝180°﹣∠3＝152°．

故答案为：152°．

14．（4分）据统计，截止2021年3月，中国党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为 　9.1×107　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：91000000＝9.1×107．

故答案为：9.1×107．

15．（4分）若x﹣y＝，xy＝﹣，则x2﹣y2＝　0　．

【分析】先求出x2+y2，再求x2﹣y2的平方，然后再开方即可求出x2﹣y2．

【解答】解：∴，

∴（x﹣y）2＝3，

∴x2﹣2xy+y2＝3，

∴，

∴，

∴（x2﹣y2）2＝（x2+y2）2﹣4x2y2，

＝，

∴x2﹣y2＝0，

故答案为0．

16．（4分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 　145　元．

【分析】设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，根据“打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数＝打折前购买的总费用﹣打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数．

【解答】解：设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，

依题意得：，

解得：，

∴5x+5y﹣（0.6×5x+0.7×5y）＝5×50+5×30﹣（0.6×5×50+0.7×5×30）＝145．

故答案为：145．

17．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝　4　．

【分析】连接CG，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得CG＝2HF＝2，由AB∥CD，得∠CDM＝∠A＝60°，设DM＝x，则CD＝2x，CM＝，在Rt△CMG中，借助勾股定理得：CG＝＝2，即可求出x的值，从而解决问题．

【解答】解：连接CG，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于M，

∵F、H分别为CE、GE中点，

∴FH是△CEG的中位线，

∴HF＝CG，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DGE＝∠E，

∵∠EHF＝∠DGE，

∴∠E＝∠EHF，

∴HF＝EF＝CF，

∴CG＝2HF＝2，

∵AB∥CD，

∴∠CDM＝∠A＝60°，

设DM＝x，则CD＝2x，CM＝，

∵点G为AD的中点，

∴DG＝x，

在Rt△CMG中，由勾股定理得：

CG＝＝2，

∴x＝2，

∴AB＝CD＝2x＝4．

故答案为：4．

18．（4分）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是 　3　．

【分析】由直角∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，根据直角三角形的性质可求出DE＝EC＝CF＝FD＝2，再根据锐角三角函数和勾股定理得到＝，求出AC•BC的值即可．

【解答】解：如图，

∵∠C＝90°，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，

∴DE＝EC＝CF＝FD＝2，

∵tanA＝，tanB＝，+＝，

∴+＝，

即＝，

又∵AC2+BC2＝AB2，

∴＝，

在Rt△ADE中，AE＝＝，

在Rt△BDF中，BF＝＝，

∴AC•BC＝（2+）（2+）

＝4（1+++1）

＝4（2+）

＝18，

∴＝

∴AB2＝45，

即AB＝3，

故答案为：3．

三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19．（16分）（1）计算：2cos45°+|﹣|﹣20210﹣；

（2）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝1.12，y＝0.68．

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，去绝对值，零次幂等知识，运用实数的运算进行计算即可；

（2）先根据分式的化简计算将原式化简，再代入求值即可．

【解答】解：（1）原式＝2×+﹣1﹣

＝

＝﹣1，

（2）原式＝﹣﹣

＝

＝

＝，

当x＝1.12，y＝0.68时：＝＝2．

20．（12分）为庆祝中国党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．

（1）在统计表中，a＝　5　，b＝　0.4　，c＝　15　；

（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；

（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．

【分析】（1）根据扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°，D段人数为10人，可求出总人数，即可求出b，c，a的值；

（2）用样本中的频率来估计总体中的频率即可；

（3）通过列举所选情况可知：共10种结果，并且它们出现的可能性相等，其中包含1名男生1名女生的结果有6种，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：（1）总人数为：10÷（72÷360）＝50（人），

∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15（人），

∴a＝50﹣（20+15+10）＝5（人），

故答案为：5，0.4，15；

（2）由题意得：成绩在90～100之间的人数为5，

随机选出的这个班级总人数为50，

设该年级成绩在90～100之间的人数为y，

则，

解得：y＝200，

（3）由（1）（2）可知：A段有男生2人，女生3人，

记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，

选出2名学生的结果有：

男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，

男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，

共10种结果，并且它们出现的可能性相等，

其中包含1名男生1名女生的结果有6种，

∴P＝＝，即选到1名男生和1名女生的概率为．

21．（12分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．

（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？

（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，根据“甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件”列不等式组解答即可；

（2）设获得利润为y元，由题意得出y与x的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．

【解答】解：（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，

根据题意，得，

可解得50≤x≤55，

∵x为整数，

∴x＝50，51，52，53，54，55；

答：工艺厂购买A类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55；

（2）设获得利润为y元，

由题意，得y＝50[4x+2（150﹣x）]+8﹣[2x+6（150﹣x）]，

即y＝﹣220x+87000，

∵﹣220＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴x＝50时，y取最大值，最大值为：﹣220×50+87000＝76000（元），

答：该工艺厂购买A、B两类原木分别为50和100根时，所获得利润最大，最大利润是76000元．

22．（12分）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．

（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；

（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．

【分析】（1）根据∠CMH＝∠B，∠CMH+∠C＝90°，则∠B+∠C＝90°，故∠BMC＝90°，即可判断；

（2）作CD⊥AB于点D，在△BCM中，已知两角一边，可通过解三角形求出MC的长度．

【解答】解：（1）结论：点N在直线AB上，理由如下：

∵∠CMH＝∠B，∠CMH+∠C＝90°，

∴∠B+∠C＝90°，

∴∠BMC＝90°，即CM⊥AB，

∴线段CM逆时针旋转90°落在直线BA上，

即点N在直线AB是上，

（2）作CD⊥AB于点D，

∵MC＝MN，∠CMN＝90°，

∴∠MCN＝45°，

∵NC∥AB，

∴∠BMC＝45°，

∵BC＝6，∠B＝30°，

∴CD＝3，MC＝，

∴S＝MC2＝18，即以MC．MN为邻边的正方形面积为S＝18．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．

（1）求点C和点E的坐标及k的值；

（2）连接BE，求△MBE的面积．

【分析】（1）由点A的纵坐标为2，点B的横坐标为1，可以用k表示出A，B两点坐标，又AC∥x轴，△ABC为直角三角形，所以可以得到点C的纵坐标为2，点C的横坐标为1，由此得到C点坐标，又由于CE＝1，可以得到E点坐标，因为EM垂直平分AB，所以AE＝BE，根据此等式列出关于k的方程，即可求解；

（2）由（1）中的k值，可以求出A，B的坐标，利用勾股定理，求出线段AB的长度，从而得到BD的长度，先证明△BDM∽△BCA，利用相似三角形对应边成比例，求出BM的长度，即可求出△MBE的面积．

【解答】解：（1）由题意得点A的坐标为（，2），点B的坐标为（1，k），

又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，

∴点C的坐标为（1，2），

又CE＝1，

∴点E的坐标为（2，2），

∵点E在线段AB的垂直平分线上，

∴EA＝EB，

在Rt△BCE中，EB2＝BC2+CE2，

∴1+（k﹣2）2＝，

∴k＝2或，

当k＝2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，

∴k＝，

∴C（1，2），E（2，2），k＝；

（2）由（1）可得，AC＝，BC＝，CE＝1，

设AB的中点为D，

AB＝＝，BD＝＝，

∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°，

∴△BDM∽△BCA，

∴＝，

∴BM＝×＝，

∴S△MBE＝＝×1＝．

24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD＞1，CD＝1．

（1）求证：△DBC∽△AMD；

（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；

（3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．

【分析】（1）证明∠MAD＝∠BAC＝∠BDC，从而得证；

（2）证明△ADC∽△MAD，得出DM，从而求出CM，再根据三角形的中位线求出CM上的高，从而解得；

（3）延长OB交MA的延长线于G，证明AM＝AG，计算表示出AM和AG，从而得出方程，求出x的值，进而解得OE．

【解答】解：如图1，

（1）∵AM是⊙O的切线，

∴OA⊥AM，

∴∠CAM＝90°，

∴∠MAD+∠DAC＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，

∴∠BAC+∠DAC＝90°，

∴∠MAD＝∠BAC，

对于：

∠BAC＝∠BDC，

∴∠MAD＝∠BDC，

又∠MAD＝∠BDC＝90°，

∴△DBC∽△AMD；

（2）如图2，

取CD的中点N，连接ON，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝CO，

∴ON∥AD，ON＝，

∴∠CNA＝∠ADC＝90°，

∴ON⊥CM，

由（1）知：△DBC∽△AMD，

∴＝，

∴DM＝＝x2，

∴CM＝DM+CD＝x2+1，

∴S△COM＝CM•ON＝（x2+1）•

＝；

（3）如图3，

作DF⊥AC于F，延长DB交MA的延长线于G

在Rt△ADC中，AD＝x，CD＝1，

∴AC＝，

∴OD＝OC＝AC＝

DF＝，

CF＝＝，

∴OF＝OC﹣CF＝，

∵DF∥AG，

∴△DOF∽△GOA，

∴＝，

∴AG＝＝＝

＝，

∴AG2＝，

在Rt△ACM中，由射影定理得，

AM2＝DM•MC＝x2（x2+1），

∵∠AOE＝∠COD，

∠AOG＝∠COD，

∴∠AOE＝∠AOG，

∵OA＝OA，

∠OAM＝∠OAG，

∴△AOM≌△AOG（ASA），

∴AG＝AM，

∴＝x2（x2+1），

∴x1＝，x2＝﹣（舍去），

∴AD＝，OD＝，

DF＝＝，

OF＝，

作EH⊥OA于H，设OE＝a，

∴EH＝OE•sin∠AOE＝a•sin∠DOF

＝a•＝a，

∴OH＝a，

AH＝＝＝a•＝a，

由AH+OH＝OA得，

a+＝，

∴a＝，

即：OE＝．

25．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．

（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；

（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；

（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．

【分析】（1）将A（a，﹣2a）代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解方程求出a，即可求得抛物线解析式，当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），建立方程求解即可；

（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，得出P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），进而得出M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解方程即可，将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解方程即可得出答案；

（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，利用勾股定理可得R'M＝＝，当n＝时，R'M长度的最小值为，进而可得出答案．

【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，

解得：a＝﹣，

抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，

当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），

则，

解得或（舍去），

∴P的坐标为（1，﹣2）；

（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，

由（1）方法知，P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），

由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），

矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，

然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，

将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，

解得：t＝，或t＝﹣1（舍），

将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，

解得：t＝1+或t＝1﹣（舍）．

所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，

时间t的取值范围是：≤t≤1+；

（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），

当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），

过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，

则R'M＝＝，

又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，

消去m得：R'M＝

＝

＝

＝，

当n＝时，R'M长度的最小值为，

此时，n＝﹣m2﹣2m+2＝，

解得：m＝﹣1±，

∴点R的坐标是（﹣1±，）．