2 命题及其关系、充分条件与必要条件练习题

一、选择题

1．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，

∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．

答案：C

2．已知命题p：∃n∈N,2n＞1 000，则綈p为(　　)．

A．∀n∈N,2n≤1 000      B．∀n∈N,2n＞1 000

C．∃n∈N,2n≤1 000      D．∃n∈N,2n＜1 000

解析　特称命题的否定是全称命题．即p：∃x∈M，p(x)，则綈p：∀x∈M，綈p(x)．故选A.

答案　A

3．命题“若－1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是(　　)

A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

B．若x2<1，则－1C．若x2>1，则x>1或x<－1

D．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

解析：若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q则綈p”，故此命题的逆否命题是“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”．

答案：D

4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的(　　)．

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

解析　(特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝＜sin 60°＝，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．

答案　D

【点评】 本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值 特殊图形、特殊位置 代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.

5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

解析：否命题是既否定题设又否定结论．

答案：B

6．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．

答案：A

7．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)．

A．必要而不充分的条件     B．充分而不必要的条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要的条件

解析　若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0.故具备必要性．故选C.

答案　C

二、填空题

8.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是______        

答案：

9．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；

(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．

其中真命题的个数为________(填序号)．

解析　(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．

答案　1

10．定义：若对定义域D上的任意实数x都有f(x)＝0，则称函数f(x)为D上的零函数．

根据以上定义，“f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数”为“f(x)与g(x)的积函数是D上的零函数”的________条件．

解析　设D＝(－1,1)，f(x)＝

g(x)＝显然F(x)＝f(x)·g(x)是定义域D上的零函数，但f(x)与g(x)都不是D上的零函数．

答案　充分不必要

11．p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是q：“a·b>0”的________条件．

解析：若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cos θ＝>0，即a·b>0；由a·b>0可得cos θ＝>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p是q的充分不必要条件．

答案：充分不必要

12．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p1：|a＋b|＞1⇔θ∈

p2：|a＋b|＞1⇔θ∈

p3：|a－b|＞1⇔θ∈

p4：|a－b|＞1⇔θ∈

其中真命题的个数是____________．

解析　由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－，故θ∈.当θ∈时，a·b＞－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1，故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜，故θ∈，反之也成立，p4正确．

答案　2

三、解答题

13.设：函数在区间（4，+∞）上单调递增；，如果“”是真命题，“或”也是真命题，求实数的取值范围。

解析：在区间（4，+∞）上递增，

在（4，+∞）上递增，故    …………（3分）

由    …………（6分）

如果“”为真命题，则为假命题，即    …………（8分）

又因为为真，则为真，即

由可得实数的取值范围是    …………（12分） 

14．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

解　(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，

则a＋b≥0为真命题．

用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.

∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，

则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．

(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，

则a＋b＜0为真命题．

因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可．

∵a＋b≥0,       ∴a≥－b，b≥－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，

∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

所以逆否命题为真．

15．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

解　法一　写出逆否命题，再判断其真假．

原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．

逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.

判断如下：

∵x2＋x－a＝0无实根，

∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0，

∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．

法二　利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断

∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，

∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，

∴方程x2＋x－a＝0有实根，

故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．

又∵原命题与其逆否命题等价，

∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真命题．

法三　利用充要条件与集合关系判断．

命题p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，

∴p：A＝{a∈R|a≥0}，

q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝.

即A⊆B，∴“若p，则q”为真，

∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．

∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．

16．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，

当a＝1时，解得1由，得2若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p且pq，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则AB，

又B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)；

a<0时，A＝(3a，a)．

所以当a>0时，有解得1当a<0时，显然A∩B＝∅，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是1