2018年上海市中考数学二模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（　　）

A．x2+1    B． xy2    C．2xy    D．（﹣）2

2．（4分）下列运算结果正确的是（　　）

A．（a+b）2=a2+b2    B．2a2+a=3a3    C．a3•a2=a5    D．2a﹣1=（a≠0）

3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（　　）

A．第一、三象限    B．第二、四象限    C．第一、二象限    D．第三、四象限

4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（　　）

A．平均数    B．中位数    C．众数    D．方差

5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形

B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形

C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形

D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形

6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（　　）

A．相交    B．相离    C．相切或相交    D．相切或相离

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）计算：|﹣1|+22=　   　．

8．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=　   　．

9．（4分）方程=1的根是　   　．

10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是　   　．

11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为　   　．

12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为　   　．

13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是，则第六组的频数为　   　．

14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=， =，那么=　   　（用、的式子表示）．

15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为　   　．

16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为　   　．（用锐角α的三角比表示）

17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为　   　米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈，≈）

18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=　   　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算： +（﹣1）2018﹣2cos45°+8．

20．（10分）解方程组：

21．（10分）已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．

（1）求点C的坐标；

（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使得2S△ABM=S△ABC，求点M的坐标．

22．（10分）为了响应上海市市“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度

23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．

（1）求证：BF•BC=AB•BD；

（2）求证：四边形ADGF是菱形．

24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（2）求证：∠DAB=∠ACB；

（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．

25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．

（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；

（2）如果=2，求ED的长；

（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形说明理由．

参与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（　　）

A．x2+1    B． xy2    C．2xy    D．（﹣）2

【解答】解：由题意可知：2xy是二次单项式，

故选：C．

2．（4分）下列运算结果正确的是（　　）

A．（a+b）2=a2+b2    B．2a2+a=3a3    C．a3•a2=a5    D．2a﹣1=（a≠0）

【解答】解：（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误；

（B）2a2+a中没有同类项，不能合并，故B错误；

（D）原式=，故D错误；

故选：C．

3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（　　）

A．第一、三象限    B．第二、四象限    C．第一、二象限    D．第三、四象限

【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，

∴k＞0，

∴它的图象的两个分支分别在第一、三象限．

故选：A．

4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（　　）

A．平均数    B．中位数    C．众数    D．方差

【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．

故选：B．

5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形

B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形

C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形

D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形

【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项错误；

B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项错误；

C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项错误；

D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项正确；

综上所述，符合题意是D选项；

故选：D．

6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（　　）

A．相交    B．相离    C．相切或相交    D．相切或相离

【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，

∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，

故选：D．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）计算：|﹣1|+22=　5　．

【解答】解：原式=1+4=5，

故答案为：5

8．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=　　．

【解答】解：4a2﹣3=．

故答案为：．

9．（4分）方程=1的根是　1　．

【解答】解：两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．

经检验x=1是原方程的根．

故本题答案为：x=1．

10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是　m　．

【解答】解：

∵关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，

∴△＜0，即（﹣3）2﹣4（﹣m）＜0，

解得m＜﹣，

故答案为：m＜﹣．

11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为　y=﹣x+5　．

【解答】解：∵直线y=kx+b平行于直线y=﹣x，

∴k=﹣．

又∵截距为5，

∴b=5，

∴这条直线的解析式是y=﹣x+5．

故答案是：y=﹣x+5．

12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为　　．

【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．

故答案为：．

13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是，则第六组的频数为　8　．

【解答】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是 =，

又∵第五组的频率是，

∴第六组的频率为1﹣（+）=，

∴第六组的频数为：40×=8．

故答案为：8．

14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=， =，那么=　﹣　（用、的式子表示）．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，

∴==， ==，

∵AE=2DE，

∴=，

∵=+．

∴=﹣，

故答案为﹣．

15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为　y=x2+3x﹣　．

【解答】解：∵y=﹣x2+3x﹣2中a=﹣1，b=3，c=﹣2，且﹣1的相反数是1，与b相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，

∴y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为 y=x2+3x﹣．

故答案是：y=x2+3x﹣．

16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为　cotα（或）　．（用锐角α的三角比表示）

【解答】解：如图所示：

∵正n边形的中心角为2α，边长为5，

∵边心距OD=（或），

故答案为：（或），

17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为　　米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈，≈）

【解答】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=9×=9．

在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=9×=3．

∴AB=AN﹣BN=9﹣3=6．

则A到B的平均速度为： ==10≈（米/秒）．

故答案为：．

18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=　12﹣12　．

【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．

∵AB=12，DC=7，

∴BF=5．

又∵cos∠ABC=，

∴BC=13，CF==12．

∵AD=CF=12，AB=12，

∴BD==12．

∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，

∴BP=BA=12，

∴PD=BD﹣BP=12﹣12．

故答案为：12﹣12．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算： +（﹣1）2018﹣2cos45°+8．

【解答】解：原式=﹣1+1﹣2×+2

=﹣+2

=2．

20．（10分）解方程组：

【解答】解：

由②得：（x﹣2y）（x+y）=0

x﹣2y=0或x+y=0…………………………………………（2分）

原方程组可化为，………………………………（2分）

解得原方程组的解为，…………………………………（5分）

∴原方程组的解是为，……………………………………（6分）

21．（10分）已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．

（1）求点C的坐标；

（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使得2S△ABM=S△ABC，求点M的坐标．

【解答】解：（1）令y=0，则﹣2x+4=0，

解得x=2，

∴点A坐标是（2，0）．

令x=0，则y=4，

∴点B坐标是（0，4）．

∴AB===2．

∵∠BAC=90°，tan∠ABC==，

∴AC=AB=．

如图1，

过C点作CD⊥x轴于点D，

∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠CAD=90°，

∵∴∠ABO=∠CAD，

，

∴△OAB∽△DAC．

∴===，

∵OB=4，OA=2，

∴AD=2，CD=1，

∴点C坐标是（4，1）．

（2）S△ABC=AB•AC=×2×=5．

∵2S△ABM=S△ABC，

∴S△ABM=．

∵M（1，m），

∴点M在直线x=1上；

令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；

如图2，

分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别是点F、G，

∴AF+BG=OA=2；

∴S△ABM=S△BME+S△AME=ME•BG+ME•AF=ME（BG+AF）

=ME•OA=×2×ME=，

∴ME=，

m﹣2=，

m=，

∴M（1，）．

22．（10分）为了响应上海市市“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度

【解答】解：设自行车的平均速度是x千米/时．

根据题意，列方程得﹣=，

解得：x1=15，x2=﹣30．

经检验，x1=15是原方程的根，且符合题意，x2=﹣30不符合题意舍去．

答：自行车的平均速度是15千米/时．

23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．

（1）求证：BF•BC=AB•BD；

（2）求证：四边形ADGF是菱形．

【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．

∵∠BAC=2∠C，

∴∠BAF=∠C=∠EAC．

又∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC．

∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，

∴△ABF∽△CBD．…………………………………………………（1分）

∴．………………………………………………………（1分）

∴BF•BC=AB•BD．………………………………………………（1分）

（2）∵FG∥AC，

∴∠C=∠FGB，

∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）

∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，

∴△ABF≌△GBF．

∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分）

∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，

∴△ABD≌△GBD．

∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分）

∵∠BAD=2∠C，

∴∠BGD=2∠C，

∴∠GDC=∠C，

∴∠GDC=∠EAC，

∴AF∥DG．……………………………………（1分）

又∵FG∥AC，

∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分）

∴AF=FG．……………………………………………………………（1分）

∴四边形ADGF是菱形．……………………………………………（1分）

24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（2）求证：∠DAB=∠ACB；

（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．

【解答】解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入y=ax2﹣2x+c中，

得，解得，

∴抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣2x+3，

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点坐标D（﹣1，4）；

（2）令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，

解得x1=﹣3，x2=1，

∴A（﹣3，0），

∴OA=OC=3，

∴∠CAO=∠OCA，

在Rt△BOC中，tan∠OCB==，

∵AC==3，DC==，AD==2，

∴AC2+DC2=20=AD2；

∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，

∴tan∠DAC===，

又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，

∴∠DAC=∠OCB，

∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，

即∠DAB=∠ACB；

（3）令Q（x，y）且满足y=﹣x2﹣2x+3，A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，

∴QD2=QA2，即（x+3）2+y2=（x+1）2+（y﹣4）2，

化简得：x﹣2+2y=0，

由，

解得，．

∴点Q的坐标是（，），（，）．

25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．

（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；

（2）如果=2，求ED的长；

（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形说明理由．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°

∴AB=10，

如图1，过E作EH⊥AB于H，

在Rt△ABC中，sinB=，cosB=

在Rt△BEH中，BE=BF=x，

∴EH=x，EH=x，

∴FH=x，

在Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2=（x）2+（x）2=x2，

∴y=x（0＜x＜8）

（2）如图2，取的中点P，联结BP交ED于点G

∵=2，P是的中点，EP=EF=PD．

∴∠FBE=∠EBP=∠PBD．

∵EP=EF，BP过圆心，

∴BG⊥ED，ED=2EG=2DG，

又∵∠CEA=∠DEB，

∴∠CAE=∠EBP=∠ABC，

又∵BE是公共边，

∴△BEH≌△BEG．

∴EH=EG=GD=x．

在Rt△CEA中，

∵AC=6，BC=8，tan∠CAE=tan∠ABC=，

∴CE=AC•tan∠CAE==

∴BE=8﹣=

∴ED=2EG=x=，

（3）四边形ABDC不可能为直角梯形，

①当CD∥AB时，如图3，如果四边形ABDC是直角梯形，

只可能∠ABD=∠CDB=90°．

在Rt△CBD中，∵BC=8．

∴CD=BC•cos∠BCD=，

BD=BC•sin∠BCD==BE．

∴=，；

∴．

∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．

∴四边形ABDC不可能为直角梯形，

②当AC∥BD时，如图4，如果四边形ABDC是直角梯形，

只可能∠ACD=∠CDB=90°．

∵AC∥BD，∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠CBD=90°．

∴∠ABD=∠ACB+∠BCD＞90o．

与∠ACD=∠CDB=90°矛盾．

∴四边形ABDC不可能为直角梯形．

即：四边形ABDC不可能是直角梯形