【中考真题】2021年重庆市中考数学试卷B卷(附答案)

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．相反数是（ ）

A． ． ． ．3

2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． ．

C． ．

3．计算结果正确的是（ ）

A． ． ． ．

4．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（ ）

A．2：1 ．1：2 ．3：1 ．1：3

5．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（ ）

A．70° ．90° ．40° ．60°

6．下列计算中，正确的是（ ）

A． ．

C． ．

7．小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的是（ ）

A．小明家距图书馆3km

B．小明在图书馆阅读时间为2h

C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h

D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快

8．如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）

A． ．

C． ．

9．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）

A．60° ．65° ．75° ．80°

10．如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；）

A．69.2米 ．73.1米 ．80.0米 ．85.7米

11．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）

A． ． ． ．

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ）

A． ． ．2 ．3

二、填空题

13．计算：__________．

14．不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是__________．

15．方程的解是__________．

16．如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留）

17．如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________．

18．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为__________元．

三、解答题

19．计算：（1）；

（2）．

20．2021年是中国党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）

6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．

八年级教师竞赛成绩扇形统计图

七、八年级教师竞赛成绩统计表

（1）填空：__________，_________； 

（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．

21．如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

22．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；

（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．

23．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．

24．对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；

（1）判断5313，37是否为“共生数”？并说明理由；

（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

26．在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．

图1图2图3

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．

①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；

②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：；

（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积．

参

1．D

【分析】

根据相反数的意义，只有符号不同的两个数称为相反数．

【详解】

解：的相反数是3．

故选：D．

【点睛】

本题考查了相反数的意义．只有符号不同的两个数为相反数，0的相反数是0．

2．A

【分析】

直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．

【详解】

解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，

因此，综合各选项，只有A选项符合；

故选A．

【点睛】

本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等．

3．B

【分析】

根据同底数幂除法的法则计算即可．

【详解】

解： ，

故选：B．

【点睛】

本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握法则是解题的关键．

4．D

【分析】

直接利用对应边的比等于相似比求解即可．

【详解】

解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；

△OAB 与△OCD的相似比等于；

故选D．

【点睛】

本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力．

5．A

【分析】

直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．

【详解】

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，

故选：A．

【点睛】

本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．

6．C

【分析】

根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．

【详解】

解：A. ，原选项错误，不符合题意；

B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；

C. ，原选项正确，符合题意；

D. ，原选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．

7．D

【分析】

根据题意，首先分析出函数图象中每一部分所对应的实际意义，然后逐项分析即可．

【详解】

根据题意可知，函数图象中，0-1h对应的实际意义是小明从家到图书馆的过程，走过的路程为3km，故A正确；

1-3h对应的实际意义是小明在图书馆阅读，即阅读时间为3-1=2h，故B正确；

3h后直到纵坐标为0，对应的实际意义为小明从图书馆回到家中，显然，这段时间不足1h，从而小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，故C正确；

显然，从图中可知小明去图书馆的速度为，回来时，路程同样是3km，但用时不足1h，则回来时的速度大于，即大于去时的速度，故D错误；

故选：D．

【点睛】

本题考查函数图象与实际行程问题，理解函数图象所对应的实际意义是解题关键．

8．B

【分析】

根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．

【详解】

选项A，添加，

在和中，

 ，

∴≌（ASA），

选项B，添加，

在和中，，，，无法证明≌；

选项C，添加，

在和中，

 ，

∴≌（SAS）；

选项D，添加，

在和中，

 ，

∴≌（AAS）；

综上，只有选项B符合题意．

故选B．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．

9．C

【分析】

根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形中，

∴∠MBO=∠NDO=45°，

∵点O为MN的中点

∴OM=ON，

∵∠MPN=90°，

∴OM=OP，

∴∠PMN=∠MPO=30°，

∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，

∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算．

10．D

【分析】

作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函数求解即可得出结论．

【详解】

如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，

∴,

∵斜坡CD的坡度（或坡比）为，

∴在Rt△CED中，，

∵，

∴，

∴，

∴，

在Rt△ADF中，∠ADF=50°，

∴，

将代入解得：，

∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，

故选：D．

【点睛】

本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．

11．B

【分析】

先将分式方程化为整式方程，得到它的解为,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到且，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．

【详解】

解：,

两边同时乘以（)，

,

,

由于该分式方程的解为正数，

∴，其中;

∴，且；

∵关于y的元一次不等式组有解，

由①得：;

由②得：;

∴，

∴

综上可得：,且;

∴满足条件的所有整数a为：；

∴它们的和为；

故选B．

【点睛】

本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题．

12．D

【分析】

设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解．

【详解】

解：设D点坐标为，

∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，

∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，

∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，

∴E点坐标为，

同理可得C点坐标为，

∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，

∵点E为AC的中点，的面积为1，

∴，即，可得，，

解得，

故选：D．

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．

13．2

【分析】

根据算数平方根的定义和零指数幂的性质进行计算即可．

【详解】

解：；

故答案为：2

【点睛】

本题考查了算数平方根和零指数幂，熟练掌握性质是解题的关键．

14．

【分析】

根据题意，通过列表法或画树状图的方法进行求解即可．

【详解】

列表如图所示：

其中两次摸出的球都是白球的情况共有４种，

∴两次摸出的球都是白球的概率，

故答案为：．

【点睛】

本题考查列表法或画树状图的方法求概率，熟练掌握这两种基本方法是解题关键．

15．

【分析】

按照解一元一次方程的方法和步骤解方程即可．

【详解】

解：，

去括号得，，

移项得，，

系数化为1得，，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用一元一次方程的解法解方程．

16．

【分析】

先根据菱形的性质得出AB的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，，，

∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；

∴；

∴菱形ABCD的面积=

∵四个扇形的半径相等，都为，且四边形的内角和为360°，

∴四个扇形的面积=，

∴阴影部分的面积=；

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．

17．3

【分析】

利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出AO的长度，即可求出AD的长度．

【详解】

由翻折可知

∴O是的中点，

∵点D为边BC的中点，O是的中点，

∴是的中位线，

∴ ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键．

18．155

【分析】

设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出的值即可．

【详解】

解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5 a个，则，解得，a=1；

设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列方程组得，

②-①得，，

③×3-①得，，

故答案为：155．

【点睛】

本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值．

19．（1）；（2）

【分析】

（1）根据单项式乘以多项式以及完全平方公式计算即可；

（2）利用分式的混合运算法则进行计算即可．

【详解】

解：（1）

（2）

【点睛】

本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

20．（1）8；9；（2）102；（3）八年级，理由见解析

【分析】

（1）根据中位数和众数的定义分别求解即可；

（2）先求出被调查的20人中成绩到达8分以上的人数，求出占比，再用120乘该比例即可；

（3）根据平均数，中位数，众数等对应的实际意义进行判断即可．

【详解】

（1）题干中七年级的成绩已经从小到达排列，

∴七年级的中位数为；

扇形统计图中，D的占比更多，D代表得分为9分的人数，

∴八年级的众数为；

故答案为：8；9；

（2）由题可知，七年被抽查的20名教师成绩中，8分及以上的人数为17人，

∴（人），

∴该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数为102人；

（3）八年级教师更优异，因为八年级教师成绩的中位数高于七年级教师成绩的中位数．（不唯一，符合题意即可）

【点睛】

本题考查数据分析，理解中位数，众数等的定义与求法，熟练运用中位数和众数做决策是解题关键．

21．作图见解析，猜想：DF=3BF，证明见解析．

【分析】

根据角平分线的作法作出的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出.,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性质得出，从而可得出结论．

【详解】

解：如图，AE即为的角平分线，

猜想：DF=3BF

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO=CO，BO=DO

∴ 

∵AC=2AB

∴AO=AB

∵AE是的角平分线

∴

∴

∴．

【点睛】

此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．

22．（1）；3；4；（2）作图见解析；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；（3）或

【分析】

（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，再根据表格代入求解其余参数即可；

（2）根据作函数图象的基本步骤，在网格中准确作图，然后根据图象写出一条性质即可；（3）结合函数图象与不等式之间的联系，用函数的思想求解即可．

【详解】

（1）由表格可知，点在该函数图象上，

∴将点代入函数解析式可得：，

解得：，

∴原函数的解析式为：；

当时，；

当时，；

故答案为：；3；4；

（2）通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示；

根据图像可知：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；

故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；

（3）要求不等式的解集，

实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围，

∴由图象可知，当或时，满图条件，

故答案为：或．

【点睛】

本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键．

23．（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8．

【分析】

（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，，

解得，，

答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．

（2）根据题意得，，

解得，（舍去），，

答：a的值为8．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．

24．（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或

【分析】

（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；

（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜  且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．

【详解】

解：（1） 

是“共生数”，

不是“共生数”．

（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 

＜  且为整数，

所以： 

由“共生数”的定义可得： 

 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，

或或 

当 则 则 不合题意，舍去，

当时，则 

当时， 

此时： ，而不为偶数，舍去，

当时，

此时： ，而为偶数，

当时， 

此时： ，而为偶数，

当时，则 

而则不合题意，舍去，

综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或

【点睛】

本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．

25．（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析

【分析】

（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；

（2）先得出抛物线的对称轴，作PE∥y轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面积即可求出最大面积；

（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可．

【详解】

解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得

，解得：，

∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，

（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，

∴C（0，-4），

抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为

∵点D与点C关于直线l对称，

∴D（3，-4），

∵A（-1，0），

设直线AD的解析式为y=kx+b；

∴，解得：，

∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，

设P（m，m2-3m-4），

作PE∥y轴交直线AD于E，

∴E（m，-m-1），

∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，

∴，

∴，

∴当m=1时，的面积最大，最大值为：8

（3）∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1，

∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，

∴抛物线沿射线AD方向平移平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，

∵，，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），

设平移后的抛物线的解析式为

则，解得：，

∴平移后y1=x2-11x+20，

∴抛物线y1的对称轴为：，

∵P（1，-6），

∴E（5，-10），

∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：

设G（n，n2-11n+20），F（，y），

①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分

∴，∴

∴

②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分

∴，∴

∴

③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分

∴，∴

∴

∴或或

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．

26．（1）①；②见解析；（2）

【分析】

（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD=3，AG=BG=，然后利用勾股定理求解即可；②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可；

（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论．

【详解】

（1）解：①如图所示，连接AG，

由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形，

∴∠GFB=60°，

∵BD⊥AC，

∴∠FBC=30°，

∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，

∵AC=BC，GC=GC，

∴△GBC≌△GAC（SAS），

∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，

∵AB=6，

∴AD=3，AG=BG=，

∴在Rt△ADG中，，

∴；

②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图，

∵△ABC和△GEF均为等边三角形，

∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，

∴∠BEF+∠BHF=180°，

∵∠BHF+∠KHF=180°，

∴∠BEF=∠KHF，

由辅助线作法可知，FB=FK，则∠K=∠FBE，

∵BD是等边△ABC的高，

∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，

∴∠BFK=120°，

在△FEB与△FHK中，

∴△FEB≌△FHK（AAS），

∴BE=KH，

∴BE+BH=KH+BH=BK，

∵FB=FK，∠BFK=120°，

∴BK=BF，

即：；

（2）如图1所示，以MP为边构造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，则PJ=MP，

∴求的最小值，即为求的最小值，

如图2所示，当运动至N、P、J三点共线时，满足最小，

此时，连接EQ，则根据题意可得EQ∥AD，且EQ=AD，

∴∠MEQ=∠A=60°，∠EQF=90°，

∵∠PEF=60°，

∴∠MEP=∠QEF，

由题意，EF=EP，

∴△MEP≌△QEF（SAS），

∴∠EMP=∠EQF=90°，

又∵∠PMJ=30°，

∴∠BMJ=60°，

∴MJ∥AC，

∴∠PMJ=∠DNP=90°，

∵∠BDC=90°，

∴四边形ODNJ为矩形，NJ=OD，

由题，AD=3，BD=，

∵MJ∥AC，

∴△BMO∽△BAD，

∴，

∴OD=BD=，OM=AD=，

设PJ=x，则MJ=x，OJ=x-，

由题意可知，DN=CD=2，

∴，

解得：，

即：PJ=，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等，理解基本图形的性质，合理构造辅助线是解题关键．