2020年山东省泰安市中考数学试卷(附答案详解)

2020年山东省泰安市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1.(2011·江西省宜春市·模拟题)的倒数是

A.     B.     C. 2    D. 

2.(2020·江苏省·期中考试)下列运算正确的是

A.     B. 

C.     D. 

3.(2021·山东省·单元测试)2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为

A. 元    B. 元    C. 元    D. 元

4.(2021·山东省济宁市·月考试卷)将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于

A.     B.     C.     D. 

5.(2021·全国·单元测试)某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数

册	1	2	3	4	5
人数人	2	5	7	4	2

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是

A. 3，3    B. 3，7    C. 2，7    D. 7，3

6.(2020·山东省泰安市·历年真题)如图，PA是的切线，点A为切点，OP交于点B，，点C在上，则等于

A. 

B. 

C. 

D. 

7.(2021·安徽省合肥市·期中考试)将一元二次方程化成b为常数的形式，则a，b的值分别是

A. ，21    B. ，11    C. 4，21    D. ，69

8.(2021·山东省聊城市·模拟题)如图，是的内接三角形，，，AD是直径，，则AC的长为

A. 4    B.     C.     D. 

9.(2021·山东省泰安市·模拟题)在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是

A.     B. 

C.     D. 

10.(2020·山东省泰安市·历年真题)如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若，则AF的长为

A. 1cm    B.     C.     D. 

11.(2021·浙江省·单元测试)如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作交CD于点F，交AC于点M，过点D作交AB于点E，交AC于点N，连接FN，则下列结论：

；

；

；

当时，四边形DEBF是菱形．

其中，正确结论的个数是

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

12.(2021·山东省·其他类型)如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为

A. 

B. 

C. 

D. 

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.(2020·山东省泰安市·历年真题)方程组的解是______．

14.(2021·山东省·其他类型)如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为，，是关于x轴的对称图形，将绕点逆时针旋转，点的对应点为M，则点M的坐标为______．

15.(2021·山东省枣庄市·模拟题)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移______m时，才能确保山体不滑坡．取

16.(2021·贵州省贵阳市·单元测试)如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是______．

17.(2021·安徽省芜湖市·单元测试)已知二次函数b，c是常数，的y与x的部分对应值如下表：

x				0	2
y	6	0			6

下列结论：

；

当时，函数最小值为；

若点，点在二次函数图象上，则；

方程有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是______把所有正确结论的序号都填上

18.(2021·重庆市市辖区·期中考试)如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第n个数记为，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）

19.(2020·山东省泰安市·历年真题)化简：；

解不等式：．

20.(2021·山东省威海市·模拟题)如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．

求反比例函数的表达式；

若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求的面积．

21.(2021·广东省广州市·模拟题)为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动每人限报一项，将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：

本次参加比赛的学生人数是______名；

把条形统计图补充完整；

求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数；

在C组最优秀的3名同学名男生2名女生和E组最优秀的3名同学名男生1名女生中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

22.(2021·山东省威海市·模拟题)中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的倍．

，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒进价不变，A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元不考虑其他因素，求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？

23.(2020·山东省·历年真题)若和均为等腰三角形，且．

如图，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；

如图，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使．

求证：，

．

24.(2020·江苏省淮安市·单元测试)小明将两个直角三角形纸片如图那样拼放在同一平面上，抽象出如图的平面图形，与恰好为对顶角，，连接BD，，点F是线段CE上一点．

探究发现：

当点F为线段CE的中点时，连接如图，小明经过探究，得到结论：你认为此结论是否成立？______填“是”或“否”

拓展延伸：

将中的条件与结论互换，即：，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

若，，求AD的长．

25.(2020·四川省绵阳市·单元测试)若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图．

求二次函数的表达式；

如图，过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上轴左侧，若BC恰好平分求直线BE的表达式；

如图，若点P在抛物线上点P在y轴右侧，连接AP交BC于点F，连接BP，．

当时，求点P的坐标；

求m的最大值．

答案和解析

1.【答案】A

【知识点】倒数

【解析】解：的倒数是．

故选：A．

根据倒数的定义，直接解答即可．

主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2.【答案】D

【知识点】同底数幂的除法、负整数指数幂、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项

【解析】解：，故本选项不合题意；

B.，故本选项不合题意；

C.，故本选项不合题意；

D.，故本选项符合题意．

故选：D．

分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．

本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

3.【答案】C

【知识点】科学记数法-绝对值较大的数

【解析】解：4000亿，

故选：C．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】C

【知识点】三角形的外角性质、平行线的性质

【解析】解：如图所示，

，

又是的外角，

，

故选：C．

根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．

此题考查了平行线的性质和外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．

5.【答案】A

【知识点】中位数、众数

【解析】

【分析】

本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．

【解答】

解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为册，

故选A．

6.【答案】B

【知识点】圆周角定理、切线的性质

【解析】

【分析】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

连接OA，根据切线的性质得到，求出，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，根据圆周角定理解答即可．

【解答】

解：连接OA，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

，

由圆周角定理得，，

故选B．

7.【答案】A

【知识点】解一元二次方程-配方法

【解析】

【分析】

本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．

【解答】

解：，

，

则，即，

，，

故选A．

8.【答案】B

【知识点】勾股定理、圆内接四边形的性质、含30°角的直角三角形、圆周角定理

【解析】

【分析】

本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．

连接CD，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】

解：连接CD，

，，

，

，

是直径，

，

，

，

，

，

故选：B．

9.【答案】C

【知识点】二次函数的图象、一次函数的图象

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．

【解答】

解：二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

，，

一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，

故A错误；

B.二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

，，

一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，

故B错误；

C.二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

，，

一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，

故C正确；

二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

，，

一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，

故D错误；

故选C．

10.【答案】D

【知识点】平行四边形的性质、矩形的判定与性质

【解析】解：过F作于H，

高，，

，

，，

，

沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，

，

，，

，

四边形AGHF是平行四边形，

又

四边形AGHF是矩形，

，

，

，

故选：D．

根据直角三角形的边角关系求出BG，HE，再利用矩形的性质与判定得出即可解答．

此题考查平行四边形的性质，矩形的性质与判定及直角三角形的性质的知识．

11.【答案】D

【知识点】菱形的性质、矩形的性质、菱形的判定

【解析】解：四边形ABCD是矩形，

，，，，，，

，

，，

，

，

在和中，，

≌，

，，故正确；

在和中，，

≌，

，，故正确；

，即，

，

四边形NEMF是平行四边形，

，故正确；

，，

，

，

四边形DEBF是平行四边形，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

四边形DEBF是菱形；故正确；

正确结论的个数是4个，

故选：D．

证≌，得出，，故正确；证≌，得出，，故正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出，故正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出，则，得出四边形DEBF是菱形；故正确；即可得出结论．

本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．

12.【答案】B

【知识点】坐标与图形性质、三角形的中位线定理、点与圆的位置关系

【解析】解：如图，

点C为坐标平面内一点，，

在的圆上，且半径为1，

取，连接CD，

，，

是的中位线，

，

当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，

，，

，

，

，即OM的最大值为；

故选：B．

根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．

本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值是点C的位置是关键，也是难点．

13.【答案】

【知识点】灵活选择解法解二元一次方程(组)

【解析】解：

，得，

．

把代入，得，

．

原方程组的解为．

故答案为：．

用代入法或加减法求解二元一次方程组即可．

本题考查的是二元一次方程组的解法．掌握二元一次方程组的代入法、加减法是解决本题的关键．

14.【答案】

【知识点】旋转中的坐标变化*、中心对称的概念、轴对称中的坐标变化

【解析】解：将绕点逆时针旋转，如图所示：

所以点M的坐标为，

故答案为：．

延长后得出点M，进而利用图中坐标解答即可．

此题考查中心对称，关键是根据中心对称的性质画出图形解答．

15.【答案】10

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】解：在BC上取点F，使，过点F作于H，

，，，

四边形BEHF为矩形，

，，

斜坡AB的坡比为12：5，

，

设，则，

由勾股定理得，，即，

解得，，

，，

，

在中，，

，

，

坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，

故答案为：10．

在BC上取点F，使，作，根据坡度的概念求出BE、AE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．

本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

16.【答案】

【知识点】扇形面积的计算、含30°角的直角三角形、三角形的面积、等边三角形的判定与性质

【解析】

【分析】

本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．

连接OA，易求得圆O的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据即可得到结论．

【解答】

解：连接OA，

，，

是等边三角形，

，

的半径为8，

，

，

，

，

，

，

于点C，

，，

，

故答案为．

17.【答案】

【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数的最值、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式

【解析】

【分析】

本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，理解和掌握二次函数的性质是正确判断的关键．

任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质进行判断即可．

【解答】

解：将代入得，

，解得，，

抛物线的关系式为，

，因此正确；

对称轴为，即当时，函数的值最小，因此不正确；

把代入关系式得，，，所以，因此正确；

方程，也就是，即方程，由可得有两个不相等的实数根，因此正确；

正确的结论有：，

故答案为：．

18.【答案】20110

【知识点】数学传统文化-代数类、数式规律问题

【解析】解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为，

则．

故答案为：20110．

观察“杨辉三角”可知第n个数记为，依此求出，，再相加即可求解．

此题考查了规律型：数字的变化类，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．

19.【答案】解：原式

；

去分母，得：，

去括号，得：，

移项，得：，

合并同类项，得：．

【知识点】一元一次不等式的解法、分式的混合运算

【解析】先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得；

根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．

本题主要考查分式的混合运算与解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式的基本步骤．

20.【答案】解：点，点在反比例函数上，

，

解得：，

则，

故反比例函数的表达式为：；

，故点A、B的坐标分别为、，

设直线AB的表达式为：，则，解得，

故一次函数的表达式为：；

当时，，故点，故，

而点D为点C关于原点O的对称点，则，

的面积．

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数综合

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标的特征，运用待定系数法确定函数关系式，三角形的面积公式，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．

点，点在反比例函数上，则，即可求解；

，故点A、B的坐标分别为、，求出一次函数的表达式为：，则点，故，进而利用三角形面积公式求解．

21.【答案】80

【知识点】扇形统计图、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)

【解析】解：本次参加比赛的学生人数为名；

故答案为：80；

组人数为：名，把条形统计图补充完整如图：

扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数为；

画树状图如图：

共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，

所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．

由B组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；

求出D组人数，从而补全条形统计图；

由乘以A组所占的百分比即可；

画出树状图，由概率公式求解即可．

本题考查了列表法或画树状图法、条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】解：设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为元，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

．

答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．

设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶盒，

依题意，得：，

解得：，

．

答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．

【知识点】分式方程的应用、一元一次方程的应用

【解析】设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为元，根据用8400元购买的B种茶叶比用4000元购买的A种茶叶多10盒，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；

设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶盒，根据总利润每盒的利润销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．

23.【答案】解：四边形BEAC是平行四边形，

理由如下：

为等腰三角形，，B是DE的中点，

，，

是等腰三角形，，

，，

，，

四边形BEAC是平行四边形；

和均为等腰三角形，，

，，，

≌，

；

延长FG至点H，使，

是EC的中点，

，

又，

≌，

，，

，，

，

，

．

【知识点】三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质

【解析】由等腰三角形的性质可得，，，，可证，，可得四边形BEAC是平行四边形；

由“SAS”可证≌，可得；

延长FG至点H，使，由“SAS”可证≌，可得，，可得，由等腰三角形的性质可得结论．

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．

24.【答案】是

【知识点】三角形综合、勾股定理

【解析】解：如图中，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为是．

结论成立：

理由：，，

，，

，

，

，

，

，，，

，

，

，

，，

，

，

，

点F是EC的中点．

如图3中，取EC的中点G，连接则．

，

，

在中，，

，

在中，，

，，

∽，

，

，

，

．

证明可得结论．

结论成立：利用等角的余角相等证明，推出，再证明即可解决问题．

如图3中，取EC的中点G，连接则利用中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．

本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

25.【答案】解：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为、，

将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，

故抛物线的表达式为：；

设直线BE交y轴于点M，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为，

轴交抛物线于点D，故点，

由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为，即，

恰好平分，故，

而，

故≌，

，故，故点，

设直线BE的表达式为：，则，解得，

故直线BE的表达式为：；

过点P作轴交BC于点N，

则∽，则，

而，则，解得：，

当时，则，

设点，

由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：，当时，，故点，

故，

解得：或2，故点或；

当点时，点N在直线BC上，点，，

，故m的最大值为．

【知识点】二次函数综合

【解析】函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为、，将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

证明≌，则，故，故点，即可求解；

过点P作轴交BC于点N，则∽，则，而，则，解得：，即可求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等和相似、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．