2020年江苏省常州市中考数学试卷(含解析版)

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1．（2分）2的相反数是（　　）

A．﹣2 B．﹣ C． D．2

2．（2分）计算m6÷m2的结果是（　　）

A．m3 B．m4 C．m8 D．m12

3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥

4．（2分）8的立方根为（　　）

A． B． C．2 D．±2

5．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）

A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1

6．（2分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．（2分）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（　　）

A．2 B．4 C．3 D．6

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（2分）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝　   　．

10．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　   　．

11．（2分）地球的半径大约为00km．数据00用科学记数法表示为　   　．

12．（2分）分解因式：x3﹣x＝　   　．

13．（2分）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是　   　．

14．（2分）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝　   　．

15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝　   　°．

16．（2分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　   　．

17．（2分）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝　   　．

18．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为　   　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．

20．（8分）解方程和不等式组：

（1）+＝2；

（2）．

21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是　   　；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．

22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．

（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是　   　；

（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．

23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求证：∠E＝∠F；

（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．

（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；

（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．

（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；

（2）若BD＝10，求△ACD的面积．

26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．

（1）点F到直线CA的距离是　   　；

（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．

①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为　   　；

②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．

27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．

①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　   　（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　   　；

②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．

28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．

（1）填空：b＝　   　；

（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；

（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．

2020年江苏省常州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1．（2分）2的相反数是（　　）

A．﹣2 B．﹣ C． D．2

【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．

【解答】解：2的相反数是﹣2．

故选：A．

【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．

2．（2分）计算m6÷m2的结果是（　　）

A．m3 B．m4 C．m8 D．m12

【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．

【解答】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．

故选：B．

【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥

【分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形状．

【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，

则可得出该几何体是四棱柱．

故选：C．

【点评】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．

4．（2分）8的立方根为（　　）

A． B． C．2 D．±2

【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．

【解答】解：8的立方根是＝＝2，

故选：C．

【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a的立方根是．

5．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）

A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．

【解答】解：A、∵x＜y，

∴2x＜2y，故本选项符合题意；

B、∵x＜y，

∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；

C、∵x＜y，

∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；

D、∵x＜y，

∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．

6．（2分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．

【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，

∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝40°．

故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．

7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．

【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，

∴∠CHB＝90°，

∵点M是BC的中点．

∴MH＝BC，

∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，

∴MH的最大值为3，

故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．

8．（2分）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（　　）

A．2 B．4 C．3 D．6

【分析】根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数系数k的几何意义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，进一步求得k＝6．

【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OA∥BC，OA＝BC，

∴∠AOM＝∠CNM，

∵BD∥y轴，

∴∠CBD＝∠CNM，

∴∠AOM＝∠CBD，

∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，

∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，

∴∠CDB＝∠AMO，

∴△AOM≌△CBD（AAS），

∴OM＝BD＝，

∵S△ABD＝＝2，BD＝，

∴AE＝2，

∵∠ADB＝135°，

∴∠ADE＝45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE＝AE＝2，

∴D的纵坐标为3，

设A（m，），则D（m﹣2，3），

∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，

∴k＝m＝（m﹣2）×3，

解得m＝3，

∴k＝m＝6．

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（2分）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝　3　．

【分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0

＝2+1

＝3，

故答案为：3．

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

10．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　x≠1　．

【分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．

【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，

解得x≠1，

故答案为：x≠1．

【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．

11．（2分）地球的半径大约为00km．数据00用科学记数法表示为　6.4×103　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将00用科学记数法表示为6.4×103．

故答案为：6.4×103．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（2分）分解因式：x3﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　．

【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．

【解答】解：x3﹣x，

＝x（x2﹣1），

＝x（x+1）（x﹣1）．

故答案为：x（x+1）（x﹣1）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．

13．（2分）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是　k＞0　．

【分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围．

【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，

∴k＞0．

故答案为：k＞0．

【点评】本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时y随x的增大而增大．

14．（2分）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝　1　．

【分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．

【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，

∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，

解得：a＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．

15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝　30　°．

【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．

【解答】解：∵EF垂直平分BC，

∴BF＝CF，

∴∠B＝∠BCF，

∵△ACF为等边三角形，

∴∠AFC＝60°，

∴∠B＝∠BCF＝30°．

故答案为：30．

【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．

16．（2分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　（2，）　．

【分析】根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，

∴CD＝AD＝AB＝2，

∵∠DAB＝120°，

∴∠OAD＝60°，

Rt△AOD中，∠ADO＝30°，

∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，

∴C（2，），

故答案为：（2，）．

【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．

17．（2分）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝　　．

【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．

【解答】解：连接CG，

在正方形ACDE、BCFG中，

∠ECA＝∠GCB＝45°，

∴∠ECG＝90°，

设AC＝2，BC＝1，

∴CE＝2，CG＝，

∴tan∠GEC＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．

18．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为　4或2　．

【分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．

【解答】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．

∵DG⊥BF，BT⊥BF，

∴DG∥BT，

∵AD＝DB，AE＝EC，

∴DE∥BC，

∴四边形DGBT是平行四边形，

∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，

∵AD＝DB＝3，

∴BH＝DH＝3，

∵∠TBF＝∠BHF＝90°，

∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，

∴∠TBH＝∠F，

∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，

∴＝，

∴TH＝1，

∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，

∴BG＝4．

当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．

故答案为4或2．

【点评】本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．

【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．

【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）

＝x2+2x+1﹣x2﹣x

＝x+1，

当x＝2时，原式＝2+1＝3．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

20．（8分）解方程和不等式组：

（1）+＝2；

（2）．

【分析】（1）方程两边都乘以x﹣1得出方程x﹣2＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；

（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【解答】解：（1）方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2＝2（x﹣1），

解得：x＝0，

检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，

所以x＝0是原方程的解，

即原方程的解是：x＝0；

（2），

∵解不等式①得：x＜3，

解不等式②得：x≥﹣2，

∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜3．

【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．

21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是　100　；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．

【分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；

（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；

（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．

【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），

则样本容量是100；

故答案为：100；

（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），

踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：

（3）根据题意得：

2000×＝300（人），

答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．

（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是　　；

（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．

【分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．

【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，

故答案为：；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，

∴P（和为奇数）＝＝．

【点评】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．

23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求证：∠E＝∠F；

（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝BD，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；

（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．

【解答】证明：（1）∵EA∥FB，

∴∠A＝∠FBD，

∵AB＝CD，

∴AB+BC＝CD+BC，

即AC＝BD，

在△EAC与△FBD中，

，

∴△EAC≌△FBD（SAS），

∴∠E＝∠F；

（2）∵△EAC≌△FBD，

∴∠ECA＝∠D＝80°，

∵∠A＝40°，

∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，

答：∠E的度数为60°．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD是解题关键．

24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．

（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；

（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

【分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，根据总价＝单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．

【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，

依题意，得：，

解得：．

答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．

（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，

依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，

解得：m≤5．

答：最多购买5千克苹果．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．

（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；

（2）若BD＝10，求△ACD的面积．

【分析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；

（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．

【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，

a＝＝2，

∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，

∴正比例函数的关系式为y＝2x，

答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x；

（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，

∴OB＝5，

当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，

∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，

∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6，

【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．

26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．

（1）点F到直线CA的距离是　1　；

（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．

①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为　　；

②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．

【分析】（1）如图1中，作FD⊥AC于D．证明△ABC≌△CDF（AAS）可得结论．

（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF计算即可．

（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△EOH中，利用勾股定理构建方程求解即可．

【解答】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，

∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．

∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，

∴∠ACF＝30°，

∴∠BAC＝∠FCD，

在△ABC和△CDF中，

，

∴△ABC≌△CDF（AAS），

∴FD＝BC＝1，

故答案为1；

（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．

S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．

故答案为．

（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．

在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，

∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，

在Rt△BOC中，OC＝＝，

∴OH＝CH﹣OC＝﹣，

在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，

解得x＝或﹣（不合题意舍弃），

∴OC＝＝，

∵CF＝2EF＝2，

∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．

①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　D　（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　6　；

②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．

【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．

②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．

（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．

【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，

故答案为D，20．

②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．

设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），

∴OE＝4，OF＝

∴tan∠FEO＝＝，

∴∠FEO＝30°，

∴OH＝OE＝2，

∴PH＝OH+OP＝3，

∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．

（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．

当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．

由题意，EN＝2，EN•NH＝4，

∴NH＝，

∵N（﹣1，0），M（1，4），

∴MN＝＝2，

∴HM＝＝＝，

∴△MNH是等腰直角三角形，

∵MN的中点K（0，2），

∴KN＝HK＝KM＝，

∴H（﹣2，3），

把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，

解得，

∴直线l的解析式为y＝x+，

当k＜0时，同法可知直线i经过H′（2，1），可得直线l的解析式为y＝﹣3x+7．

综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．

【点评】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．

（1）填空：b＝　﹣4　；

（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；

（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．

【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；

（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；

当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；

（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），

∴0＝1+b+3，

∴b＝﹣4，

故答案为：﹣4；

（2）∵b＝4，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3

∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，

∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，

∴x1＝0（舍去），x2＝4，

∴点B（4，3），

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴顶点D坐标（2，﹣1），

如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，

∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，

∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，

∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，

∴∠BCF＝45°，

∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），

∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，

∵BC2+CD2＝20＝BD2，

∴∠BCD＝90°，

∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，

∴∠ACE＝∠DBC，

∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，

∴∠ACB＝∠CFD，

又∵∠CQD＝∠ACB，

∴点F与点Q重合，

∴点P是直线CF与抛物线的交点，

∴0＝x2﹣4x+3，

∴x1＝1，x2＝3，

∴点P（3，0）；

当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，

∵CH⊥DB，HF＝QH，

∴CF＝CQ，

∴∠CFD＝∠CQD，

∴∠CQD＝∠ACB，

∵CH⊥BD，

∵点B（4，3），点D（2，﹣1），

∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，

∴点F（，0），

∴直线CH解析式为：y＝﹣x+，

∴，

解得，

∴点H坐标为（，﹣），

∵FH＝QH，

∴点Q（，﹣），

∴直线CQ解析式为：y＝﹣x+，

联立方程组，

解得：或，

∴点P（，﹣）；

综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，﹣）；

（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，

∵点A（0，3），点C（1，0），

∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，

∴，

∴，

∴点N坐标为（，﹣），

∵点H坐标为（，﹣），

∴CH2＝（﹣1）2+（）2＝，HN2＝（﹣）2+（﹣+）2＝，

∴CH＝HN，

∴∠CNH＝45°，

∵点E关于直线BD对称的点为F，

∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，

∴∠ENF＝90°，

∴∠ENM+∠FNM＝90°，

又∵∠ENM+∠MEN＝90°，

∴∠MEN＝∠FNM，

∴△EMN≌△NKF（AAS）

∴EM＝NK＝，MN＝KF，

∴点E的横坐标为﹣，

∴点E（﹣，），

∴MN＝＝KF，

∴CF＝+﹣1＝6，

∵点F关于直线BC对称的点为G，

∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，

∴∠GCF＝90°，

∴点G（1，6），

∴AG＝＝．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出∠CNH＝45°是本题的关键．