高一数学专题

——指数函数与对数函数

指数函数部分

[知能演练]

一、选择题

1．函数y＝2的值域是                                                                                                                                           (　　)

A．[0，＋∞)　　　　B．[1，＋∞)              C．(－∞，＋∞)       D．[，＋∞)

解析：由于y＝2中≥0，所以y＝2≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．

答案：B

2．已知函数f(x)＝1＋，若f(lg5－)＝k，则f(lg5)＝                                                                                   (　　)

A．k          B.         C．－k          D．－

解析：容易判断函数f(x)为奇函数，又因为lg5－＝－lg5，所以f(lg5)＝－f(lg5－)＝－k.

答案：C

3．(2009·重庆八中月考)函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是                             (　　)

A．(－1，＋∞)          B．(－∞，1)                          C．(－1,1)            D．(0,2)

解析：由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1<0答案：C

4．函数y＝2|log2x|的图象大致是                                                                                                                             (　　)

解析：y＝2|log2x|＝，故应选C.

答案：C

二、填空题

5．函数y＝()x－3x在区间[－1,1]上的最大值等于________．

解析：由y＝()x是减函数，y＝3x是增函数，可知y＝()x－3x是减函数，故当x＝－1时函数有最大值.

答案：

6．若函数y＝lg(4－a·2x)在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．

解析：依题意有4－a·2x>0在(－∞，1]上恒成立，即4>a·2x，a<，g(x)＝在(－∞，1]上单调递减，所以g(x)＝的最小值等于g(1)＝2，因此实数a的取值范围是a<2.

答案：(－∞，2)

三、解答题

7．函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值．

解：由3－4x＋x2>0得x>3或x<1，

∴M＝{x|x>3或x<1}，

f(x)＝－3×22x＋2x＋2＝－3(2x－)2＋.

∵x>3或x<1，∴2x>8或0<2x<2，

∴当2x＝，即x＝log2时，f(x)最大，最大值为，f(x)没有最小值．

8．已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>0，且a≠1)．

(1)判断f(x)的单调性；

(2)验证性质f(－x)＝－f(x)，当x∈(－1,1)时，并应用该性质求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的范围．

解：(1)设x10.

若a>1，则ax10，

所以f(x1)－f(x2)＝(ax1－ax2)(1＋)<0，

即f(x1)同理，若0ax2， <0，

f(x1)－f(x2)＝(ax1－ax2)(1＋)<0，

即f(x1)综上，f(x)在R上为增函数．

(2)f(x)＝(ax－a－x)，

则f(－x)＝(a－x－ax)，

显然f(－x)＝－f(x)．

f(1－m)＋f(1－m2)<0，

即f(1－m)<－f(1－m2)⇔f(1－m)函数为增函数，且x∈(－1,1)，

故解－1<1－m[高考·模拟·预测]

1．(2008·江西高考)若0A．3y<3x　　　　　　B．logx3解析：由指数函数的性质易知A、D错误，而logx3＝，logy3＝，显然应有logx3>logy3，只有选项C正确．

答案：C

2．(2009·辽宁高考)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝(　　)

A.          B．3        C.          D．4

解析：依题意：2x1－1＝－x1，log2(x2－1)＝－x2，

∴2x1－1＝－(x1－1)，log2(x2－1)＝－(x2－1)．

又函数y1＝2x与y2＝log2x互为反函数，

∴x1－1＋x2－1＝，即x1＋x2＝＋2＝.故选C.

答案：C

3．(2009·江苏高考)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为______．

解析：∵a＝∈(0,1)，故am>an⇒m答案：m4．(2009·山东高考)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.

答案：(1，＋∞)

5．(2009·江西高考)设函数f(x)＝.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若k>0，求不等式f′(x)＋k(1－x)f(x)>0的解集．

解：(1)f′(x)＝－ex＋ex＝ex，

由f′(x)＝0，得x＝1.

因为当x<0时，f′(x)<0；当01时，f′(x)>0；所以f(x)的单调增区间是[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，0)，(0,1]．

(2)由f′(x)＋k(1－x)f(x)＝ex＝ex>0，得(x－1)(kx－1)<0.

故当0当k＝1时，解集是Ø；

当k>1时，解集是.

对数函数部分

[知能演练]

一、选择题

1．当0A．都是增函数             B．都是减函数         C．①是增函数，②是减函数           D．①是减函数，②是增函数

解析：①②均为偶函数，且00时，y＝a|x|为减函数，y＝loga|x|为减函数，当x<0时，①②均是增函数．

答案：A

2．函数f(x)＝ax＋logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－，最大值与最小值之积为－，则a等于 (　)

A．2          B.               C．2或      D. 

解析：ax与logax具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f(1)＋f(2)＝－，f(1)·f(2)＝－，解得a＝，选B.

答案：B

3．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，用h(t)替换x，那么不改变函数f(x)的值域的替换是(　　)

A．h(t)＝t2      B．h(t)＝2t－2                         C．h(t)＝sint          D．h(t)＝

解析：原函数f(x)＝lg(x＋1)的值域是R，用h(t)替换x后，要使f(x)的值域不变，应使h(t)＋1能够取遍所有正数，只有h(t)＝2t－2符合题意，故选B.

答案：B

4．设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为 (　　)

A．{a|1解析：由logax＋logay＝3，得loga(xy)＝3，即y＝，

∵a>1且x>0，∴y＝在x∈[a,2a]上单调递减，

∴ymax＝f(a)＝＝a2，ymin＝f(2a)＝＝，

由题意，得得a≥2.故选B.

答案：B

二、填空题

5．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．

解析：令u＝x2－2x，则y＝log3u.

∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x>0的减区间是

(－∞，0)，

∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

6．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．

解析：令3x＝t，∴x＝log3t，

∴f(t)＝4log23·log3t＋233，

即f(t)＝4log2t＋233，

∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)

＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233

＝4·log22·22·23…28＋8×233

＝4·log2236＋18.

＝4×36＋18＝2008.

答案：2008

三、解答题

7．对于正实数a，函数y＝x＋在(，＋∞)上为增函数，求函数f(x)＝loga(3x2－4x)的单调递减区间．

解：∵y＝x＋在(，＋∞)上为增函数，

∴即x1＋－x2－＝<0⇒

x1x2－a>0⇒af(x)＝loga(3x2－4x)的定义域为

(－∞，0)∪(，＋∞)，而0∴f(x)与g(x)＝3x2－4x在(－∞，0)，(，＋∞)上的单调性相反，

∴f(x)的单调递减区间为(，＋∞)．

8．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)设g(x)＝log4(a·2x－a)，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

解：(1)由函数f(x)是偶函数可知：f(x)＝f(－x)，

∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx，

log4＝－2kx，

即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，

∴k＝－.

(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，

即方程log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)有且只有一个实根，

化简得：方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根，

令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根，

①a＝1⇒t＝－，不合题意；

②Δ＝0⇒a＝或－3，

若a＝⇒t＝－2，不合题意；若a＝－3⇒t＝；

③一个正根与一个负根，即<0⇒a>1.

综上：实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．

[高考·模拟·预测]

1．(2009·广东高考)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝ (　)

A．log2x          B.                  C．logx            D．x2

解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa＝，

∴f(x)＝logx.故选C.

答案：C

2．(2009·陕西高考)若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为      (　　)

A．[0,1)              B．(0,1)                         C．[0,1]          D．(－1,0]

解析：由题意得M＝[0,1]，N＝(－1,1)，则M∩N＝[0,1)．故选A.

答案：A

3．(2009·全国Ⅱ)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则                                                                              (　　)

A．a>b>c          B．a>c>b                          C．b>a>c          D．b>c>a

解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈(，1)，c＝log3＝log32∈(0，)，故有a>b>c.

答案：A

4．(2009·湖南高考)若log2a<0，()b>1，则                                                                                                        (　　)

A．a>1，b>0         B．a>1，b<0                           C．00         D．0解析：由log2a<0⇒01⇒b<0，故选D.

答案：D

5．(2009·陕西八校)已知：f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)在其定义域内的单调性；

(3)若f(x)在(1，＋∞)内恒为正，试比较a－b与1的大小．

解：(1)由ax－bx>0，

∴()x>1.∵>1，∴x>0，

∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)设x2>x1>0，∵a>1>b>0，

∴ax2>ax1，bx1>bx2，－bx2>－bx1，

∴ax2－bx2>ax1－bx1>0，∴ >1，

∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x)在(0，＋∞)内是增函数．

(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.