福建省中考数学模拟试卷（二）含答案解析

一、选择题（共40分）

1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）

A．2    B．﹣2    C．    D．

2．（4分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）

A．2.5×105    B．2.5×106    C．2.5×10﹣5    D．2.5×10﹣6

3．（4分）计算：（﹣a）6÷（﹣a3）等于（　　）

A．a2    B．﹣a2    C．a3    D．﹣a3

4．（4分）如图，所示的几何体的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．（4分）把命题“如果x=y，那么=”作为原命题，对原命题和它的逆命题的真假性的判断，下列说法正确的是（　　）

A．原命题和逆命题都是真命题

B．原命题和逆命题都是假命题

C．原命题是真命题，逆命题是假命题

D．原命题是假命题，逆命题是真命题

6．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（　　）

A．30    B．24    C．15    D．10

7．（4分）已知数据4，4，6，6，8，a的中位数是5，如果这组数据有唯一的众数，那么a的值（　　）

A．4    B．6    C．8    D．4或6

8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，如果=，∠C比∠D大36°，则∠A等于（　　）

A．24°    B．27°    C．34°    D．37°

9．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC与AB、AD的夹角分别为α、β，点E是AC上任意一点，给出如下结论：①AB sinα=AD sinβ；②S△ABE=S△ADE；③ADsinα=AB sinβ． 其中正确的个数有（　　）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

10．（4分）如果关于x的不等式x＞2a﹣1的最小整数解为x=3，则a的取值范围是（　　）

A．0＜a＜2    B．a＜2    C．≤a＜2    D．a≤2

二、填空题：（共24分）

11．（4分）16的算术平方根是　   　．

12．（4分）已知关于x的方程mx2+2x﹣1=0有两个实数根，则m的取值范围是　   　．

13．（4分）如图，线段AB的端点A、B分别在x轴和y轴上，且A（2，0），B（0，4），将线段AB绕坐标原点O逆时针旋转90°得线段A'B'，设线段AB'的中点为C，则点C的坐标是　   　．

14．（4分）已知圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为12π，面积为60π，则圆锥的高是　   　．

15．（4分）一只箱子里有红球和白球各若干个，现从中拿出与白球个数一样多的红球，结果随机摸出一个球是红球的概率为，则箱子里原有红球个数与白球个数的比是　   　．

16．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，且点A在x轴上，点B在双曲线y=上，则△OAB的边长是　   　．

三、解答题：（共86分）

17．（8分）计算：（π﹣4）0+（﹣）﹣1+|﹣2|+tan60°

18．（8分）化简：÷（+）

19．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：AE=CF．

20．（8分）某校为了调查学生书写规范汉字的能力，从七年级1000名学生中随机抽选了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图（尚不完整） 

（1）填空：表中a的值为　   　，b的值为　   　；扇形统计图中表示第1组所对应的圆心角度数为　   　．

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校七年级学生中随机抽查一个学生，他是规范汉字书写优秀的概率是　   　；

（3）若测试成绩在60～80分之间（含60分，不含80分）为合格，请你估计该校七年级学生规范汉字书写不合格的人数．

21．（8分）如图，已知△ABC中，∠C=90°．在BC上求作点D，使AD=BD．当AC=4，CD=3时，求AB的长，（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）

22．（10分）某商场销售一批进价为10元的新商品，为寻求合适的销售价格，他们进行了4天的试销，试销情况如下表：

（2）若该商场计划每天销售这种商品的利润要达到3600元，问该商品销售单价应定为多少元？

23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，以AD为斜边作△ADC，使∠C=90°，∠CAD=∠DAB

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若AB=9，AD=6，求DC的长．

24．（12分）边长为6的等边△ABC中，点P从点A出发沿射线AB方向移动，同时点Q从点B出发，以相同的速度沿射线BC方向移动，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点D．

（1）如图①，当点P、Q分别在边AB、BC上时，

①连接PQ，当△BPQ是直角三角形时，AP等于　   　；

②∠CDQ的大小是否随P，Q的运动而变化？如果不会，请求出∠CDQ的度数；如果会，请说明理由；

（2）当P、Q分别在边AB、BC的延长线上时，在图②中画出点D，并直接写出∠CDQ的度数．

25．（14分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+1 

（1）写出二次函数图象的对称轴：　   　；

（2）如图，设该函数图象交x轴于点A、B（B在A的右侧），交y轴于点C．直线y=kx+b经过点B、C．

①如果k=﹣，求a的值

②设点P在抛物线对称轴上，PC+PB的最小值为，求点P的坐标．

福建省中考数学模拟试卷（二）

参与试题解析

一、选择题（共40分）

1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）

A．2    B．﹣2    C．    D．

【解答】解：﹣2的绝对值是2，

即|﹣2|=2．

故选：A．

2．（4分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）

A．2.5×105    B．2.5×106    C．2.5×10﹣5    D．2.5×10﹣6

【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，

故选：D．

3．（4分）计算：（﹣a）6÷（﹣a3）等于（　　）

A．a2    B．﹣a2    C．a3    D．﹣a3

【解答】解：（﹣a）6÷（﹣a3）

=a6÷（﹣a3）

=﹣a3．

故选：D．

4．（4分）如图，所示的几何体的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：由已知几何体即可得出几何体的主视图是：．

故选：A．

5．（4分）把命题“如果x=y，那么=”作为原命题，对原命题和它的逆命题的真假性的判断，下列说法正确的是（　　）

A．原命题和逆命题都是真命题

B．原命题和逆命题都是假命题

C．原命题是真命题，逆命题是假命题

D．原命题是假命题，逆命题是真命题

【解答】解：如果x=y，当x=y是负数时，没有算术平方根，所以原命题是假命题；

命题“如果x=y，那么=”的逆命题是如果=，那么x=y，是真命题；

故选：D．

6．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（　　）

A．30    B．24    C．15    D．10

【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，∠C=90°，

∴DE=DC=3，

∵AB=10，

∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15．

故选：C．

7．（4分）已知数据4，4，6，6，8，a的中位数是5，如果这组数据有唯一的众数，那么a的值（　　）

A．4    B．6    C．8    D．4或6

【解答】解：∵数据4，4，6，6，8，a的中位数是5，即中位数5=，

∴a≤4，

又这组数据有唯一的众数，

∴a=4，

故选：A．

8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，如果=，∠C比∠D大36°，则∠A等于（　　）

A．24°    B．27°    C．34°    D．37°

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，如果=，

∴AB⊥CD，

∴∠B+∠D=90°，∠A+∠C=90°，

∵∠B与∠C都对，

∴∠C=∠B，

∴∠C+∠D=90°，

∵∠C﹣∠D=36°，

∴∠C=63°，∠D=27°，

则∠A=27°．

故选：B．

9．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC与AB、AD的夹角分别为α、β，点E是AC上任意一点，给出如下结论：①AB sinα=AD sinβ；②S△ABE=S△ADE；③ADsinα=AB sinβ． 其中正确的个数有（　　）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【解答】解：由题意，可知∠CAB=α，∠DAC=β．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD．

在△ABC与△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA，

∴S△ABC=S△CDA，

∵S△ABC=AC•ABsinα，S△CDA=AC•ADsinβ，

∴AB sinα=AD sinβ，①正确；

∵S△ABE=AE•ABsinα，S△ADE=AE•ADsinβ，

又AB sinα=AD sinβ，

∴S△ABE=S△ADE，②正确；

不能证明ADsinα=AB sinβ，③不正确．

故选：C．

10．（4分）如果关于x的不等式x＞2a﹣1的最小整数解为x=3，则a的取值范围是（　　）

A．0＜a＜2    B．a＜2    C．≤a＜2    D．a≤2

【解答】解：∵关于x的不等式x＞2a﹣1的最小整数解为x=3，

∴2≤2a﹣1＜3，

解得：≤a＜2．

故选：C．

二、填空题：（共24分）

11．（4分）16的算术平方根是　4　．

【解答】解：∵42=16，

∴=4．

故答案为：4．

12．（4分）已知关于x的方程mx2+2x﹣1=0有两个实数根，则m的取值范围是　m≥﹣1且m≠0　．

【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x﹣1=0有两个实数根，

∴，

解得：m≥﹣1且m≠0．

故答案为：m≥﹣1且m≠0．

13．（4分）如图，线段AB的端点A、B分别在x轴和y轴上，且A（2，0），B（0，4），将线段AB绕坐标原点O逆时针旋转90°得线段A'B'，设线段AB'的中点为C，则点C的坐标是　（﹣1，0）　．

【解答】解：如图，由旋转可得，B'O=BO=4，

又∵AO=2，

∴AB'=6，

∵线段AB'的中点为C，

∴AC=3，

∴CO=3﹣2=1，即点C的坐标是（﹣1，0），

故答案为：（﹣1，0）．

14．（4分）已知圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为12π，面积为60π，则圆锥的高是　6　．

【解答】解：设母线长为R，由题意得：60π=×10π×R，解得R=12cm．

设圆锥的底面半径为r，则12π=2πr，

解得：r=6，

故圆锥的高为：

故答案为：6．

15．（4分）一只箱子里有红球和白球各若干个，现从中拿出与白球个数一样多的红球，结果随机摸出一个球是红球的概率为，则箱子里原有红球个数与白球个数的比是　5：3　．

【解答】解：设原来袋子中有白球x个，红球有y个，

根据题意可得=，

整理可得：5x=3y，即=，

故答案为：5：3．

16．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，且点A在x轴上，点B在双曲线y=上，则△OAB的边长是　2　．

【解答】解：设△OAB的边长是a，

∵平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，且点A在x轴上，点B在双曲线y=上，

∴点B的坐标是（a•cos60°，a•sin60°），

∴a•sin60°=，

解得，a=2，

故答案为：2．

三、解答题：（共86分）

17．（8分）计算：（π﹣4）0+（﹣）﹣1+|﹣2|+tan60°

【解答】解：原式=1﹣2+2﹣+

=1．

18．（8分）化简：÷（+）

【解答】解：原式=÷[+]

=÷

=•

=．

19．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：AE=CF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABE=∠CDF．

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°．

在△ABE与△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF，

∴AE=CF．

20．（8分）某校为了调查学生书写规范汉字的能力，从七年级1000名学生中随机抽选了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图（尚不完整） 

（1）填空：表中a的值为　3　，b的值为　13　；扇形统计图中表示第1组所对应的圆心角度数为　28.8°　．

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校七年级学生中随机抽查一个学生，他是规范汉字书写优秀的概率是　46%　；

（3）若测试成绩在60～80分之间（含60分，不含80分）为合格，请你估计该校七年级学生规范汉字书写不合格的人数．

【解答】解：（1）抽查的学生总人数是：20÷40%=50（人），

b=50×26%=13，

a=50﹣4﹣20﹣13﹣10=3；

第一小组所对应的圆心角度数为：×360°=28.8°；

故答案为：3，13，28.8°；

（2）根据题意得：

×100%=46%，

故答案为46%；

（3）随机调查不合格人数的概率为×100%=8%，

估计该校七年级学生规范汉字书写不合格的人数为8%×1000=80（人）．

21．（8分）如图，已知△ABC中，∠C=90°．在BC上求作点D，使AD=BD．当AC=4，CD=3时，求AB的长，（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）

【解答】解：如图，点D为所作，

在Rt△ACD中，AD==5，

∵AD=BD=5，

∴BC=3+5=8，

在Rt△ACB中，AB=42+82=4．

22．（10分）某商场销售一批进价为10元的新商品，为寻求合适的销售价格，他们进行了4天的试销，试销情况如下表：

（2）若该商场计划每天销售这种商品的利润要达到3600元，问该商品销售单价应定为多少元？

【解答】解：（1）由表中数据得：xy=6000，

则y与x之间的函数关系式为y=；

（2）由题意得：（x﹣10）y=3600，

把y=代入得：（x﹣10）•=3600，

解得：x=25，

经检验，x=25是原方程的根．

答：该商品销售单价应定为25元．

23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，以AD为斜边作△ADC，使∠C=90°，∠CAD=∠DAB

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若AB=9，AD=6，求DC的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OD．

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ODA，

∵∠CAD=∠DAB，

∴∠ODA=∠CAD

∴AC∥OD

∴∠C+∠ODC=180°

∵∠C=90°

∴∠ODC=90°

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=9，AD=6，

∴BD===3，

∵∠CAD=∠BAD，∠C=∠ADB=90°，

∴△ACD∽△ADB，

∴，

∴，

∴CD==2．

24．（12分）边长为6的等边△ABC中，点P从点A出发沿射线AB方向移动，同时点Q从点B出发，以相同的速度沿射线BC方向移动，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点D．

（1）如图①，当点P、Q分别在边AB、BC上时，

①连接PQ，当△BPQ是直角三角形时，AP等于　2或4　；

②∠CDQ的大小是否随P，Q的运动而变化？如果不会，请求出∠CDQ的度数；如果会，请说明理由；

（2）当P、Q分别在边AB、BC的延长线上时，在图②中画出点D，并直接写出∠CDQ的度数．

【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

由题意得，AP=BQ，

当∠PQB=90°时，BQ=BP，即AP=（6﹣AP）

解得，AP=2，

当∠QPB=90°时，BQ=2BP，即AP=2（6﹣AP）

解得，AP=4，

综上所述，当AP=2或4时，△BPQ是直角三角形，

故答案为：2或4；

②∠CDQ的大小不变

∵P、Q用时出发，速度相同，所以AP=BQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴BA=AC，∠B=∠CAP=60°，

在△ABQ和△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°；

（2）∠CDQ=120°．

∵△ABC是等边三角形，

∴BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，

在△ABQ和△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP，

∴∠Q=∠P，

∵∠P+∠BCP=60°，

∴∠Q+∠DCQ=60°，

∴∠CDQ=120°．

25．（14分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+1 

（1）写出二次函数图象的对称轴：　直线x=2　；

（2）如图，设该函数图象交x轴于点A、B（B在A的右侧），交y轴于点C．直线y=kx+b经过点B、C．

①如果k=﹣，求a的值

②设点P在抛物线对称轴上，PC+PB的最小值为，求点P的坐标．

【解答】解：（1）二次函数y=ax2﹣4ax+1的图象的对称轴为直线x=﹣=2．

故答案为：直线x=2．

（2）①当x=0时，y=1，

∴点C的坐标为（0，1）．

将（0，1）代入y=kx+b，得：b=1．

∵k=﹣，

∴y=﹣x+1，

当y=0时，有﹣x+1=0，

解得：x=3，

∴点B的坐标为（3，0）．

将B（3，0）代入y=ax2﹣4ax+1，得：

9a﹣12a+1=0，

解得：a=3．

②当PC+PB取最小值时，点P是直线BC与直线x=2的交点，且PC+PB的最小值=BC=．

∵直线BC的解析式为y=kx+1，

∴点B的坐标为（﹣，0），

∴OB=﹣．

又∵OC=1，BC=，

∴+1=13，

∴k=±，

又∵k＜0，

∴k=﹣，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+1．

当x=2时，y=﹣×2+1=，

点P的坐为（2，）．