2022年内蒙古包头中考数学试题试卷及答案

2022

年内蒙内蒙古包古包古包头中考头中考头中考数学数学数学试题试卷试题试卷试题试卷及答案及答案注意事项：

16120120

．本试卷共页，满分分．考试时间为分钟．2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条请认真核对条形码上的形码上的形码上的相关信息后，将条形码粘贴相关信息后，将条形码粘贴相关信息后，将条形码粘贴在答题卡在答题卡在答题卡的指定位置上．的指定位置上．

3

．答题时，将答案题时，将答案写在答题写在答题写在答题卡上．写在本试卷上无效．卡上．写在本试卷上无效．4

．考试结束后，将试结束后，将本试卷和本试卷和本试卷和答题卡一并交回．答题卡一并交回． 一、选择题：本大题择题：本大题共有共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题自卡上对应题自的答案标的答案标的答案标号涂黑．号涂黑．

1. 若42 222m ⨯=，则m 的值为（

）

A. 8

B. 6

C. 5

D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数幂的乘法运算计算 42426 22222m + ⨯===，即可求解． 【详解】 42426 22222m + ⨯===，

6m ∴=，

故选：B

．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，即m n

m n a a a +⋅=（m 、n 为正整数），熟练掌握运算法则是解题的关键．

2. 若a ，b 互为相反数，c 的倒数是，则4 334a b c +-的值为（

）A. 8-

B. 5-

C. 1-

D. 16 【答案】C

【解析】

【分析】根据a ，b 互为相反数，可得0a b +=，c 的倒数是，可得414c =

，代入即可求解．

【详解】∵a ，b 互为相反数，

∴0a b +=，

∵c 的倒数是4

，∴14

c =， ∴ 334a b c +- () 34a b c =+-1 30414

=⨯-⨯=-，

故选：C

【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得0a b +=，14c =

是解题的关键． 3. 若m n >，则下列不等式中正确的是（

）A. 22m n -<- B. 1

122 m n ->- C. 0n m -> D.

1212m n -<-

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．

【详解】解：、∵A m ＞n ，∴ 22m n ->-，故本选项不合题意；

B 、∵m ＞n ，∴1

122

m n -<-，故本选项不合题意； C 、∵m ＞n ，∴0m n ->，故本选项不合题意；

D 、∵m ＞n ，∴ 1212m n -<-，故本选项符合题意；

故选：D

．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以 （或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负0数，如果是负数，不等号的方向必须改变．

4. 1几个大小相同，且棱长为的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（

）

A. 3

B. 4

C. 6

D. 9

【答案】B

【解析】 【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方体的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；

【详解】由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方体，第二列两个小正方体，可以画出左视图如图，

所以这个几何体的左视图的面积为4

故选：B

【点睛】本题考查了物体的三视图，解题饿到关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图．

5. 20222年月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获942金银铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动， 并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（）

A. 16

B. 13

C. 12

D. 23

【答案】D

【解析】 【分析】根据题意，列出树状图，即可得出答案．

【详解】记小明为A ，其他名一等奖为2B C 、，

列树状图如下：

故有种等可能性结果，其中小明被选中得有种，故明被选到

概率为4263

P ==． 故选：D ．【点睛】此题考查了列表法或树状图法通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出:n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．

6. 若12,x x 是方程2 230

x x --=两个实数根，则212x x ⋅的值为（ ） A. 3或9-

B. 3-

或或9 C. 36- D. 3- 或6 【答案】A

【解析】

【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2 230x x --=进行分类讨论即可得出答案．

【详解】解：∵2 230x x --=，

∴12331

x x - ⋅==-，

()() 130x x +-= ,3-1 则两根为：或，当23x =时， 21

22

122 39x x x x x x ==--⋅=g g ， 当21x =-时，2 121222 · ·33x x x x x x ⋅==-=， 故选：A

．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．

7. 如图，,AB CD 是O 的两条直径，E 是劣弧BC 的中点，连接BC ，DE ．若 22ABC ∠=︒，则CDE ∠的度数为（

）

A. 22︒

B. 32︒

C. 34︒

D. 44︒

【答案】C

【解析】 【分析】连接OE ，由题意易得 22OCB

ABC ∠=∠=︒，则有 136COB ∠=︒，然后可得 68COE ∠=︒，进而根据圆周角定理可求解．

【详解】解：连接OE ，如图所示：

∵OB =OC ， 22ABC ∠=︒，

∴ 22OCB

ABC ∠=∠=︒，

∴ 136COB ∠=︒，

∵E 是劣弧BC 的中点，

∴1682

COE COB ∠=∠=︒， ∴1342

CDE

COE ∠=∠=︒； 故选C

．【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键． 8. 在一次函数 () 50y ax b a =-+≠中，y 的值随x 值的增大而增大，

且0ab >，则点 (,)A a b 在（

）

A. B. C. D. 第四象限第三象限第二象限第一象

限

【答案】B

【解析】

【分析】根据一次函数的性质求出a 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A 点所处的象限即可． 【详解】∵在一次函数 ()

50y ax b a =-+≠中，y 的值随x 值的增大而增大， ∴ 50a -＞，即0a ＜，

又∵0ab >，

∴0b ＜，

∴点 (

,)A a b 在第三象限， 故选：B

【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．

9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（

）

A. 1 4

B. 4 1

C. 1 2

D. 2 1

：：：：

【答案】D

【解析】

【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明

ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．

【详解】如图：由题意可知，3DM =，3BC =，

∴DM BC =，

而DM BC ∥，

∴四边形DCBM 为平行四边形，

∴AB DC ∥，

∴ BAE DCE ∠=∠， ABE CDE ∠=∠，

∴ABE CDE ∽

， ∴2222 242521512

ABE CDE C AB C CD + ====+△△． 故选：D

．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．

10. 已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2 267a b a +-+的最小值等于（

）

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2 【答案】A

【解析】

【分析】由已知得b =a +1，代入代数式即得a 2-4a +9变形

(a -2)2+5，再根据二次函数性质求解．

【详解】解：∵b -a =1

，∴b =a +1

，∴a 2+2b -6a +7

=a 2+2(a +1)-6a +7

=a 2-4a +9

=(a -2)2+5 ，

∵(a -2)2≥，0

∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +75

有最小值，最小值为，故选：A

．【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2 +5

是解题的关键．11. 如图，在Rt ABC 中， 90,30,2ACB

A BC ∠=︒∠=︒=，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A

B

C ''V ，其中点A '与点A 是对应点，点B '与点B 是对应点．若点B '恰好落在AB 边上，则点A 到直线A C '的距离等于（

）

A. 33

B. 23

C. 3

D. 2

【答案】C

【解析】 【分析】如图，过A 作AQ A C ¢

^于,Q 求解 4,23,AB AC == 结合旋转：证明 60,,90,B A B C BC B C A CB ⅱⅱ? 可得BB C '△为等边三角形，求解

60,A CA ¢?

再应用锐角三角函数可得答案．【详解】解：如图，过A 作AQ A C ¢

^于,Q

由 90,30,2ACB

A BC ∠=︒∠=︒=， 22 4,23,A

B A

C AB BC \\==-=

结合旋转：

60,,90,B A B C BC B C A CB ⅱⅱ?\\?

BB C ¢\\V 为等边三角形，

60,30,BCB ACB ⅱ \\?靶=?

60,A CA ¢\\

3

sin 6023 3.2AQ AC \\=g

∴A 到A C ' 的距离为3

． 故选C

【点睛】本题考查的是旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．

12. 如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，点E ，F 分别在,AD BC 边上，

,EF AB AE AB =∥，AF 与BE 相交于点O ，连接OC ，若2BF CF =，则OC 与EF 之间的数量关系正确的是（

）

A. 25OC EF =

B. 52OC EF =

C. 23OC EF =

D. OC EF =

【答案】A

【解析】

【分析】过点O 作OM ⊥BC 于点M ，先证明四边形ABFE 是正方形，得出MF CF OM ==，再利用勾股定理得出5OC CF =，即可得出答案．

【详解】

过点O 作OM ⊥BC 于点M ，

90OMC ∴∠=︒，

四边形ABCD 矩形，

90ABC BAD ∴∠=∠=︒，

,EF AB AE AB =∥，

90ABC BAD AEF ∴∠=∠=︒=∠，

∴四边形ABFE 是正方形，

45,AFB OB OF ∴∠=︒=，

12

MF BF OM ∴==， 2BF CF =，

MF CF OM ∴==，

由勾股定理得 2222 (2)5OC OM CM CF CF CF =+=+=，

25OC EF ∴=，

故选：A

．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

二、填空题：本大题共有小题，每小题分，共分．请将答案填在答题卡上对应的横7321线上．

13. 若代数式11x x

++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________ ．【答案】1x ≥-且0x ≠

【解析】

【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．

【详解】解：由题意得：x +10≥，且x ≠，0

解得：1x ≥-且0x ≠，

故答案为：1x ≥-且0x ≠．

【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．

14. 计算：222a b ab a b a b

-+=--___________ ．【答案】-a b ##b a -+

【解析】

【分析】分母相同，分子直接相加，根据完全平方公式的逆用即可得．

【详解】解：原式= 222

2()a b ab a b a b a b a b

+-- ==---, 故答案为：-a b ．

【点睛】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握完全平方公式．

15. 某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均

为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：

候选人 通识知识 专业知识 实践能力

甲

80 90 85 乙 80 85 90

根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按：25：3的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是___________．（填“甲”或“乙”）

【答案】甲

【解析】

【分析】分别计算甲和乙的加权平均数，进行比较，即可得到答案．

【详解】甲的成绩为 253 80908586.5 101010

⨯+⨯+⨯=（分），

乙的成绩为 253 80859085.5 101010 ⨯+⨯+⨯=（分）， 86.585.5>，

∴被录用的是甲，

故答案为：甲．

【点睛】本题考查了加权平均数，如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出

现k f 次（这里 12k f f f n ++=），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表

示为 1122k k x f x f x f x n ++

=，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中12 ,,,k f f f 叫

做权，理解加权平均数的概念，掌握其公式是解题的关键．

16. 如图，已知O 的半径为2，AB 是O 的弦．若22AB =，则劣弧AB 的长为___________

．

【答案】π

【解析】

【分析】根据条件可证AOB ∆为直角三角形，得到90AOB ∠=︒，之后利用弧长公式即可

得到答案．

【详解】解：由题知22AB =，2OA OB ==，

222 AB OA OB ∴=+，

90AOB ∠=︒∴，

∴ 劣弧AB 902180

ππ⨯==． 故答案为：π．

【点睛】本题主要考查勾股定理，弧长的公式，掌握弧长的公式是解题的关键．

17. 若一个多项式加上2 328xy y +-，结果得2 235xy y +-，

则这个多项式为．___________ 【答案】23y xy -+

【解析】

【分析】设这个多项式为，由题意得：A 22 (328)235A xy y xy y ++-=+-，求解即可．

【详解】设这个多项式为，由题意得：A 22 (328)235A xy y xy y ++-=+-，

22222 (235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy ∴=+--+-=+---+=-+， 故答案为：23y xy -+．

【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．

18. 如图，在Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒，3AC BC ==，

D 为AB 边上一点，且BD BC =，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点

E （异于点C ），连接DE ，则BE 的长为___________

．

【答案】 323-## 332-+

【解析】

【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据题意得出DC DE =，根据等腰三角形性质得出

CF EF =，根据 90ACB ∠=︒，

3AC BC ==，得出32AB =，设CF x =，则3BF x =-，证明DF AC ，得出BF BD CF AD

=，列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出 323BE =-．

【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：

根据作图可知，DC DE =，

∵DF ⊥BC ，

∴CF EF =，

∵ 90ACB ∠=︒，3AC BC ==，

∴ 2222 3332AB AC BC =+=+=，

∵3BD BC ==，

∴ 323AD =-，

设CF x =，则3BF x =-，

∵ 90ACB ∠=︒，

∴AC BC ⊥，

∵DF BC ⊥，

∴DF

AC ， ∴BF BD CF AD

=， 即33 323

x x -=-， 解得： 6322x -=

， ∴ 632 226322

CE x - ==⨯=-， ∴ 33632323BE CE =-=-+=-．

故答案为： 323-．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF 的长，是解题的关键．

19. 如图，反比例函数 (0)k y k x

=>在第一象限的图象上有(1,6)A ， (3,)B b 两点，直线AB 与x 轴相交于点C ，D 是线段OA 上一点．若

AD BC AB DO ⋅=⋅，连接CD ，记,ADC DOC 的面积分别为12,S S ，则12S S -的值为___________ ．

【答案】4

【解析】

【分析】如图，连结BD ，证明,DAB OAC V V ∽

再求解反比例函数为：6y x =， () 3,2,B 直线AB 为：

28,y x =-+ 再求解() 4,0,C 1 4612,2

AOC S =创=V 再利用相似三角形的性质可得答案．

【详解】解：如图，连结BD ，

AD BC AB DO ⋅=⋅， ,AD AB DO BC \

= ,AD AB AO AC

\\= 而,DAB OAC ? ,DAB OAC \\V V ∽

()1,6A Q 在反比例函数图象k y x

=上，

6,k \\= 即反比例函数为：6y x

=， ()3,B b Q 在反比例函数图象6y x =

上， 2,b ∴= 即 () 3,2,B

设直线AB 为：,y mx n =+

6,32m n m n ì+=ï\\í+=ïî 解得：2,8m n ì=-ïí=ïî

∴直线AB 为：

28,y x =-+ ∴ 当0y =时，4,x =

() 4,0,C \

1 4612,2

AOC S \\=创=V ,DAB OAC QV V ∽

2

4,9ADB A B AOC A S y y S y 骣-琪\\==琪桫V V 2,3

AB AD AC AO == 1221 128,124,33

S S \\=?=? 12 4.S S \\-=

故答案为：4

【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与 ，证明

23

AB AD AC AO ==是解本题的关键． 三、解答题：本大题答题：本大题共有共有分．分．请将必要的请将必要的请将必要的文字说明、计算过程或推理文字说明、计算过程或推理文字说明、计算过程或推理过程写过程写6小题，共3在答题卡的对应位置卡的对应位置．．

20. 202232827年月日是第个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成 绩均不低于分将全部测试成绩50x （单位：分）进行整理后分为五组（ 5060x ≤<， 6070x ≤<， 7080x ≤<， 8090x ≤<， 90100x ≤≤），并绘制成如下的频数直方图（如图）．

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了___________名学生；

（）若测试成绩达到280分及以上为优秀，请你估计全校名学生对安全知识的了解情况960为优秀的学生人数；

（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．

【答案】（）（）人140 2480

（）加强安全知识教育，普及安全知识；通过多种形式（课外活动、知识竞赛等），提高安3全意识；结合校内、校外具体活动（应急演练、参观体验、紧急救援等），提高避险能力

【解析】

【分析】（1）根据频数分布直方图进行求解即可；

（2）由总人数乘以测试成绩达到80分及以上为优秀的比例即可求解；

（3）根据题意提出合理化建议即可．

【小问详解】1

由频数分布直方图可得，一共抽取： 461012840++++=（人）

故答案为：40

； 【小问详解】2

128 96048040

+⨯=（人）， 所以优秀的学生人数约为人；480

【小问详解】3

加强安全知识教育，普及安全知识；通过多种形式（课外活动、知识竞赛等），提高安全意识；结合校内、校外具体活动（应急演练、参观体验、紧急救援等），提高避险能力．

【点睛】本题考查了频数直方图，用样本估计总体，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．

21. 如图，AB 是底部B 不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，测角仪器的高

1.5DH CG ==米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB 的高度，先在H 处用测角仪器测得建筑物顶端A 处的仰角ADE ∠为α ，再向前走5米到达G 处，又测得建筑物顶端A 处的仰角ACE ∠为45︒，已知7 tan ,9

AB BH α=

⊥，H ，G ，B 三点在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．

【答案】19

米【解析】

【分析】设AE x =米．在Rt AEC 中，得到CE AE x ==．在Rt AED △中，得到5DC =，5DE x =+．根据7tan 9

α=，列方程求解． 【详解】解：如图．根据题意， 90,AED

ADE α ∠=︒∠=，

45,5, 1.5ACE DC HG EB CG DH ∠=︒=====．

设AE x =米．在Rt AEC 中，

∵ 90,45AEC

ACE ∠=︒∠=︒， ∴CE AE x ==．

在Rt AED △中，∵5DC =，

∴5DE x =+．

∵7 tan ,tan 9

AE ADE DE α ∠==，

∴759

x x =+， ∴ 9735x x =+，

∴17.5x =，即17.5AE =．

∵ 1.5EB =，

∴ 17.5 1.519AB AE EB =+=+=（米）

． 答：建筑物AB 的高度为米．19

【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，锐角三角函数的应用，解题的关键是找出直角三角形，熟练利用正切函数的定理求解．

22. 16由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x 天（x 取整数）时，日

销售量y （单位：千克）与x 之间的函数关系式为 12010, 20320 1016,x x y x x ≤≤⎧=⎨ -+<≤⎩

（） （）草莓价格m （单位：元千克）与/x 之间的函数关系如图所示．

（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；

（2）求当 412x ≤≤时，草莓价格m 与x 之间的函数关系式；

（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？

【答案】（）140千克

（）2

28m x =-+ （3）第10天的销售金额多

【解析】

【分析】（1）把x =14代入

20320y x =-+求出y 值即可； （2）用待定系数法求解，设m 与x 之间的函数关系式为m kx b =+，把(4,24),(12,16)代入，求出k ，b 值即可求解；

（3）把x =8，x =10分别代入y =12x ，求出y ，再把x =8，x =102分别代入（）问所求解析式求出m 值，然后分别求出my 值，比较即可求解．

【小问详解】1

解：∵当 1016x <≤时，

20320y x =-+， ∴当14x =时， 201432040y =-⨯+=（千克）．

∴第天小颖家草莓的日销售量是千克．1440

【小问详解】2

解：当 412x ≤≤时，设草莓价格m 与x 之间的函数关系式为m kx b =+，

∵点

()() 4,24,12,16在m kx b =+的图像上， ∴ 424, 1216.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,28.k b =-⎧⎨=⎩

∴函数关系式为 28m x =-+．

【小问详解】3

解：∵当 010x ≤≤时，12y x =，

∴当8x =时，

126y =⨯=， 当10x =时，

1210120y =⨯=． ∵当 412x ≤≤时， 28m x =-+，

∴当8x =时， 82820m =-+=，当10x =时， 102818m =-+=．

∴第天的销售金额为：8 96201920⨯=（元）

， 第10天的销售金额为： 120182160⨯=（元）

． ∵ 21601920>，

∴第天的销售金额多．10

【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数图像，能从函数图像获取有用作息，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．

23. 如图，AB 为O 的切线，C 为切点，D 是O 上一点，过点D 作DF AB ⊥，垂足为

F ，DF 交O 于点E ，连接EO 并延长交O 于点

G ，连接,

,CG OC OD ，已知 2DOE CGE ∠=∠．

（1）若O 的半径为，求5CG 的长；

（2）试探究DE 与EF 之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）

【答案】（）153

（）22DE EF =，证明见解析

【解析】

【分析】（）由题意得，1 2COE CGE ∠=∠，根据 2DOE CGE ∠=∠得 COE DOE ∠=∠，

根据切线的性质得OC AB ⊥，即 90OCB ∠=︒，根据题意得 90DFB ∠=︒，则

90OCB DFB ∠=∠=︒，即可得OC DF ∥，根据角之间的关系和边之间的关系得ODE 是等边三角形，即可得∴ 60DOE ∠=︒，则 30CGE ∠=︒,根据题意得，10GE =， 90GCE ∠=︒，在Rt GCE 中，根据锐角三角形函数即可得；

（）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，2OCE △为等边三角形，可得 30ECF

∠=︒，在Rt CEF 中，根据直角三角形的性质得12

EF CE =，即2DE EF =；方法二：连接CE ，过点O 作OH DF ⊥，垂足为H ，根据题意得， 90OCB DFC ∠=∠=︒，即四边形OCFH 是矩形，所以CF OH =， 根据等边三角形的性质得DE OE =，根据边之间的关系得CE =OD ，根据HL 得Rt CFE Rt OHE ≌

，即可得EF EH =，所以DH EH EF ==，即可得2DE EF =．

【小问详解】1

解：如图所示，连接CE ．

∵CE CE =，

∴ 2COE CGE ∠=∠，

∵ 2DOE CGE ∠=∠，

∴ COE DOE ∠=∠，

∵AB 为O 的切线，C 为切点，

∴OC AB ⊥，

∴ 90OCB

∠=︒， ∵DF AB ⊥，垂足为F ，

∴ 90DFB ∠=︒，

∴ 90OCB DFB ∠=∠=︒，

∴OC DF ∥，

∴ COE

OED ∠=∠， ∴ DOE OED ∠=∠，

∴OD DE =．

∵OD OE =，

∴ODE 是等边三角形，

∴ 60DOE ∠=︒，

∴ 30CGE ∠=︒．

∵O 的半径为5

，∴10GE =，

∵GE 是O 的直径，

∴ 90GCE ∠=︒，

∴在Rt GCE 中， cos 10cos3053GC GE CGE =⋅∠=⨯︒=．

【小问详解】2

2DE EF =，证明如下

证明：方法一：如图所示，

∵ 60COE DOE ∠=∠=︒，

∴CE DE =，

∴CE DE =．

∵OC OE =，

∴OCE △为等边三角形，

∴ 60OCE

∠=︒． ∵ 90OCB

∠=︒， ∴ 30ECF

∠=︒． ∴在Rt CEF 中，12EF CE =

， ∴12

EF DE =， 即2DE EF =；

方法二：如图所示，连接CE ，过点O 作OH DF ⊥，垂足为H ，

∴90OHF ∠=︒，

∵ 90OCB DFC ∠=∠=︒，

∴四边形OCFH 是矩形，

∴CF OH =，

∵ODE 是等边三角形，

∴DE OE =，

∵OH DF ⊥，

∴DH EH =，

∵ COE

DOE ∠=∠， ∴CE DE =，

∴CE DE =，

∴CE OE =，

∴CE =OD ，

∵CF OH =，

在Rt CFE △和Rt OHE △中，

CE OD CF OE =⎧⎨=⎩

∴Rt CFE Rt OHE ≌ （HL ）

， ∴EF EH =，

∴DH EH EF ==，

∴2DE EF =．

【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．

24. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是一条对角线，且5AB AC ==，6BC =，E ，F 是AD 边上两点，点F 在点E 的右侧，AE DF =，连接CE ，CE 的延长线与BA 的延长线相交于点G ．

（，1）如图1M 是BC 边上一点，连接AM ，MF ，MF 与CE 相交于点N ． ①若32

AE =，求AG 的长； ②在满足①的条件下，若EN NC =，求证：AM BC ⊥；

（2）如图2，连接GF ，H 是GF 上一点，连接EH ．若 EHG

EFG CEF ∠=∠+∠，且2HF GH =，求EF 的长．

【答案】（1）①53

；②证明见解析 （）22

【解析】

【分析】（）①解：根据平行四边形1ABCD 的性质可证 A GE DCE △∽△，得到

AG AE DC DE =，再根据5AB AC ==，6BC =，32

AE =

，结合平行四边形的性质求出DE 的长，代入比例式即可求出AG 的长；

②先根据ASA 证明 E NF CNM △≌△可得EF CM =，再根据32AE =，AE DF =求出3EF =，进一步证明BM MC =，最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论．

（2）如图，连接CF ，先根据SAS 证明 A EC DFC △≌△，再结合 EHG EFG CEF ∠=∠+∠，说明EH CF ∥，利用平行线分线段成比例定理可得12GE EC =，接着证明 A GE DCE △∽△，可得到12

AE DE =，设AE x =，则2DE x =，根据 6AD AE DE =+=构建方程求出x ，最后利用 EF AD AE DF =--可得结论．

【小问详解】1

①解：如图，

∵四边形ABCD 是平行四边形，5AB AC ==，6BC =，

∴AB CD ，AD BC ∥，5DC AB ==，6AD BC ==，

∴ GAE CDE ∠=∠， AGE DCE ∠=∠，

∴ A GE DCE △∽△，

∴AG AE DC DE

=， ∴AG DE DC AE =， ∵32

AE =， ∴3

9622

DE AD AE =-=-=， ∴93522

AG =⨯， ∴53

AG =， ∴AG 的长为

53．

②证明：∵AD BC ∥，

∴ EFN

CMN ∠=∠，

∵EN NC =，

在ENF △和CNM 中，

EFN CMN EN CN ENF CNM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪

∠=∠⎩ ∴ () E

NF CNM ASA △≌△， ∴EF CM =，

∵32AE =

，AE DF =， ∴32

DF =， ∴

3EF AD AE DF =--=， ∴3CM =，

∵6BC =，

∴

3BM BC CM =-=， ∴BM MC =，

∵AB AC =，

∴AM BC ⊥．

【小问详解】2

如图，连接CF ，

∵AB AC =，AB DC =，

∴AC DC =，

∴ CAD

CDA ∠=∠， ∵AE DF =，

在AEC △和DFC △中，

AC DC CAD CDA AE DF =⎧⎪ ∠=∠⎨⎪=⎩

∴ ()

A EC DFC SAS △≌△， ∴CE CF =，

∴ CFE

CEF ∠=∠ ∵ EHG

EFG CEF ∠=∠+∠， ∴ EHG EFG CEF EFG CFE CFG ∠=∠+∠=∠+∠=∠，

∴EH CF ∥，

∴GH GE HF EC

=， ∵2HF GH =，

∴12

GE EC =， ∵AB CD ，

∴ GAE

CDE ∠=∠， AGE DCE ∠=∠， ∴ A GE DCE △∽△，

∴AE GE DE CE

=， ∴12

AE DE =， ∴2DE AE =，

设AE x =，则2DE x =，

∵6AD =，

∴ 26AD AE DE x x =+=+=，

∴2x =，

即2AE =，

∴2DF =，

∴

2EF AD AE DF =--=． ∴EF 的长为2．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的三线合一，平行线的判定及性质，平行线分线段成比例定理等知识．灵活运用相似三角形和全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax c a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，点B 的坐标是(2,0)，顶点C 的坐标是(0,4)，M 是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM 与y 轴交于点G ．

（1）求该抛物线的解析式；

（，2）如图1N 是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM ，记AOG MOG ，的面积分别为12,S S ．当122S S =，且直线CN AM ∥时，求证：点N 与点M 关于y 轴对称；

（）如图，直线32BM 与y 轴交于点H ，是否存在点M ，使得27OH OG -=．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（）12 4y x =-+

（（2）见解析 3）存在， 115,24M ⎛⎫

⎪⎝

⎭ 【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；

（2）如图．过点M 作MD y ⊥轴，垂足为D ．当AOG 与MOG 都以OG 为底时，可得2OA MD =．再求解 (

2,0)A -，(1,3)M ，直线AM 的解析式为2y x =+．直线CN 的解析式为4y x =+，可得

(1,3)N -．从而可得答案； （）过点3M 作ME x ⊥轴，垂足为E ．设 ()

24M m m -+，则2 4OE m ME m ==-+，．由 tan tan MBE HBO ∠=∠， 可得 () ()224 22242m EM BO OH m m BE

m -+⋅ ===+=+-．同理可得 ()

()224 22422m EM AO OG m m AE m -+⋅ ===-=-+．再利用27OH OG -=，建立方程方程即可．

【小问详解】1

解：∵抛物线2

y ax c =+与x 轴交于点(2,0)B ，顶点为(0,4)C ， ∴404a c c +=⎧⎨=⎩，．解得14a c =-⎧⎨=

⎩，．

∴该抛物线的解析式为2 4y x =-+．

【小问详解】2

证明：如图．过点M 作MD y ⊥轴，垂足为D ．

当AOG 与MOG 都以OG 为底时，

∵122S S =，∴2OA MD =．

当0y =时，则2 40x -+=，

解得12

2,2x x =-=． ∵(2,0)B ，∴ (

2,0)A -， ∴21OA MD ==，．设点M 的坐标为 ()

24m m -+，

， ∵点M 在第一象限，∴1m =，

∴2 43m -+=，∴(1,3)M ． 设直线AM 的解析式为1

1y k x b =+， ∴1111203k b k b -+=⎧⎨+=⎩，．解得11

12k b =⎧⎨=⎩，． ∴直线AM

解析式为2y x =+． 设直线CN 的解析式为2

2y k x b =+， ∵直线CN AM ∥，∴211k k ==，

∴2y x b =+，∵(0,4)C ，∴2

4b =． ∴直线CN 的解析式为4y x =+，将其代入2

4y x =-+中， 得2 44x x +=-+，∴20x x +=，解得12

01x x ==-，． ∵点N 在第二象限，∴点N 的横坐标为1-，

∴3y =，∴

(1,3)N -．

∵(1,3)M ，

∴点N 与点M 关于y 轴对称．

【小问详解】3

如图．

存在点M ，使得27OH OG -=．理由如下：

过点M 作ME x ⊥轴，垂足为E ．

∵ ()

24M m m -+，

， ∴2 4OE m ME m ==-+，．

∵(2,0)B ，∴2OB =，∴2BE m =-．

在 Rt BEM 和Rt BOH 中， ∵ tan tan MBE HBO ∠=∠，∴EM OH BE BO

=， ∴ () ()224 22242m EM BO OH m m BE

m -+⋅ ===+=+-． ∵2OA =，∴2AE m =+，

在Rt AOG 和Rt AEM 中，∵ tan tan GAO MAE ∠=∠，

∴OG EM AO AE

=， ∴ ()

()224 22422

m EM AO OG m m AE m -+⋅ ===-=-+． ∵27OH OG -=， ∴ (

)() 224427m m +--=， ∴12

m =．

1

2

m=时，215

4

4

m

-+=，

∴

115

,

24

M⎛⎫ ⎪

⎝⎭

．

∴存在点

115

,

24

M⎛⎫

⎪

⎝⎭

，使得27

OH OG

-=．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点坐标问题，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．