2013年杭州初中数学教师解题能力竞赛卷

考生须知：1. 本试卷考试时间150分钟，满分120分；共有填空、解答、设计三种类型题.

          2. 将答案做在答题卡相应位置上.

          3. 考题选改编自近三年浙江各地中考题，题号后括号内说明原题的位置.

一、填空题（每小题6分，共30分）：                   

1．（2011温州23.）

某校社会实践小组开展调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息如下：①快餐的成分:蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物；②快餐总质量为500克；③脂肪所占的百分比为4%；④所含蛋白质质量是矿物质质量的4倍.根据信息，解答下列问题：（1）这份快餐中所含脂肪质量是          克；（2）若碳水化合物占快餐总质量的50%，则这份快餐所含蛋白质的质量为            克；（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，那么其中所含碳水化合物质量的最大值是           克.

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2．（2012绍兴22．）

图形新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，我们把它叫做此三角形的弦心. 例如，在图1中，若PA＝PB，则点P为△ABC的弦心. （1）如图2，已知CD为等边△ABC的高，弦心P在高CD上，且PD＝AB，则∠APB的度数＝          ；（2）若已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，弦心P在AC边上，则PA的长＝        .

3．（2011台州16.）

如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB＝10，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为        (结果保留)．

4．（2012温州23.）  

温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示，设安排x件产品运往A地.

（1）当时，若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则满足条件的x可取的值是          .（2）若总运费为6600元，则的最小值是        .

5．（2013台州16.）

任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，. 现对72进行如下操作：

这样对72只需进行3次操作后变为1. 问：（1）对256只需进行       次操作后变为1；

（2）类似的，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是　      　．

二、解答题（共75分）：

1. （2013舟山10.）（本题满分10分）  

对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A＃B＝．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C＃D＝D＃E＝E＃F＝F＃D，请证明C，D，E，F四点在同一条直线上.

2.（2012宁波25.）（本题满分10分）

邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形.如图，□ABCD中，若AB=2，BC=1，则□ABCD为1阶准菱形.

（1）邻边长分别为2和5的平行四边形是       阶准菱形；

（2）已知□ABCD是邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出□ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；

（3）已知□ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a＝8b＋r，b＝4r，请直接写出□ABCD是几阶准菱形.

3.（2013台州25.）（本题满分10分）

如图1，已知直线与y轴交于点A，抛物线经过点A，其顶点为B，另一抛物线＞1的顶点为D，两抛物线相交于点C：

（1）求点B的坐标，并说明点D在直线上的理由；

（2）设交点C的横坐标为m：

①交点C的纵坐标可以表示为：       或      ，由此请进一步探究m与h之间的关系；

②如图2，是否存在m的值使得，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由.

4．（2011宁波25．）（本题满分15分）

定义一种三角形：我们把两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做@△，比如等边△一定是@△.

（1）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是@△，求a:b:c；

（2）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．

① 求证：△ACE是@△；

② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

5．（2012金华23.）（本题满分15分）

在锐角△ABC中，已知AB=6，BC=7，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为6，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

6.（2012湖州24．）（本题满分15分）

如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（－，3），抛物线y＝ax2＋b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．

（1）这个抛物线的函数解析式是        ；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）

①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时， S△FE′C′的最小值与最大值，并求取得最值时的t值．