上海市2020年高二上学期期中考试数学试题

高二第一学期期中考试

数学学科试卷

（考试时间90分钟）

一、填空题（4*10=40分）.

1、经过点（﹣3，1）和点（2，﹣2）的直线的点方向式方程是　   　

2、计算          

3、若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝　   　 

4、向量＝（3，4）在向量＝（1，﹣1）方向上的投影为　   　．

5、若在行列式中，元素a的代数余子式的值是　   　．

6、直线x+ysinα﹣1＝0（α∈R）的倾斜角的取值范围是　   　．

7、向量均为非零向量，，则与的夹角为　   　．

8、如图直线l过点P（0，1），且与直线l1：x﹣3y+10＝0和l2：2x+y﹣8＝0分别相交于A，B两点．过l1与l2交点C，且与直线CP垂直的直线方程                

9、过△ABC的重心G作直线l，已知l与AB、AC的交点分别为M、N，＝，若，则实数λ的值为           

10、对于直线l上任意一点A（x，y），点B（4x+2y，x+3y）仍在直线l上，则直线l的方程为　   　

二、选择题（4*4=16）

11、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足＝0，则△ABC一定是（　　）

A．等腰非等边三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

12、已知A（3，0），B（0，3），从点P（0，2）射出的光线经x轴反射到时直线AB上，又经过直线AB反射回到时P点，则光线所经过的路程为（　　）

A． B．6 C． D．

13、已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（　　）

A．13 B．15 C．19 D．21

14、若平面向量，，满足||＝2，||＝3，||＝1，且⋅﹣（+）+1＝0，则|﹣|的最小值是（　　）

A．1 B． C． D．

三、解答题（10+10+12+12=44分，4题）

15、（10分）

用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．

16、（10分）

设向量、的夹角为60°且||＝||＝1，如果＝+，＝2+8，＝x﹣．

（1）若A、B、D三点共线，求x的值；

（2）当 t为何值时，的值最小？并求最小值．

17、（6+6=12分）．

已知直线m：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6＝0，n：x﹣2y+3＝0．

（1）当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；

（2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．

18、（4+4+4=12分）

直线l过点P（﹣2，1）且斜率为k（k＞1），将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得直线m，若直线l和m分别与y轴交于Q，R两点．

（1）用k表示直线m的斜率；

（2）当k为何值时，△PQR的面积最小？并求出面积最小时直线l的方程．

附加题

19、（本题10分）

设坐标平面内全部向量的集合为V，为V的一个单位向量，已知从V到V′的变换T，由变换T，由T（）＝﹣+2（•），（∈V）确定．

（1）对于V中的任意两个向量，，求证T（）T（）＝•；

（2）对于V中的任意向量，计算T[T（）]﹣的值．

（3）设＝（cosθ，sinθ），θ∈[﹣，0]，＝（1，1），若T2（）＝T[T（）]，求的取值范围．

20、（本题10分）

对于一个矩形的任一行或任一列中的所有数同时标号，称为一次“变换”，即将任一行或任一列中数的正号变负号，负号变正号。

（1）已知矩阵，问能否经过若干次变换，使A中的数全变为正数，并加以证明；

（2）任给一个m行j列的实数矩阵

求证:可经过有限次变换，使得每一行每一列的所有数之和均为非负数。