灰色预测GM(1, 1)模型实现过程

灰色系统预测模型GM(1,1)

1.GM(1,1)的一般形式

    设有变量X(0)＝{X(0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X(0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：    

  　　　　　　　　　 X(1)＝{X(1)(k)，k＝1，2，…，n}

其中    

  　　　　　　　　　 X(1)(k)＝X(0)(i) 

       　　　　　　　　　 ＝X(1)(k－1)+ X(0)(k)                 (1)

   对X(1)可建立下述白化形式的微分方程：

    　　　　　　　　 十＝u                    　　(2) 

   即GM(1,1)模型。

   上述白化微分方程的解为(离散响应)：

   　　　　　　　　　(1)(k+1)＝(X(0)(1)－)＋ 　　       (3)

　　　　　　    (1)(k)＝(X(0)(1)－)＋　　　      (4)

式中：k为时间序列，可取年、季或月。

2.辩识算法

记参数序列为, ＝[a,u]T,可用下式求解:

＝(BTB)-1BTYn                      (5)

    式中:B—数据阵；Yn—数据列

B＝                 (6)

Yn＝(X(0)(2), X(0)(3),…, X(0)(ｎ))T　　             (7)

3.预测值的还原

由于GM模型得到的是一次累加量，k{n+1,n+2,…}时刻的预测值，必须将GM模型所得数据(1)(k+1)(或(1)(k))经过逆生成即累减生成(I—AGO)还原为(0)(k+1)(或(0)(k))，即：

(1)(k)＝(0)(i)

＝(0)(i)＋(0)(k)

(0)(k)＝(1)(k)－(0)(i)

因为(1)(k-1)＝(0)(i)，所以(0)(k)＝(1)(k)－(1)(k -1)。

4. 灰色系统模型的检验

检验方法一：残差合格（相对误差）

 定义：设原始序列

相应的模型模拟序列为

残差序列

相对误差序列

    1.对于k＜n,称为k点模拟相对误差，称为滤波相对误差，称为平均模拟相对误差；

    2.称为平均相对精度，为滤波精度；

    3.给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。

检验方法二：关联合格

    定义：设为原始序列，为相应的模拟误差序列，为与的绝对关联度，若对于给定的，则称模型为关联合格模型。

检验方法三：均方差比合格、小误差概率合格

    定义：设为原始序列，为相应的模拟误差序列，为残差序列。

为的均值，

为的方差，

为残差均值，

为残差方差，

1. 称为均方差比值；对于给定的，当时，称模型为均方差比合格模型。

2. 称为小误差概率，对于给定的,当时，称模型为小误差概率合格模型。

表1 精度检验等级参照表

5.GM(1,1)预测应用举例

设原始时间序列为：

建立GM(1,1)模型，并进行检验。

解：1）对作1-AGO，得

[D为的一次累加生成算子，记为1-AGO]

2)对作紧邻均值生成，令

于是，

，

3）确定模型

及时间响应式

4)求的模拟值

       =(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)

5)还原出的模拟值，由

得 

       =（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）

6）误差检验

                               表2 残差与相对误差计算结果

          =1.0625%…………（参考表1，1级）

② 计算X与的灰色关联度

=

=1.7855

=1.8144

=0.04535

          =0.9902＞0.90…………（参考表1，为1级）

综合：精度为一级，可以用

其中，预测。

6. GM(1,1)模型的特点总结

    GM(1,1)是一种长期预测模型，在没有大的市场波动及性变化的前提下，该预测值应是可信的。在采用灰色系统理论进行定量预测时，如果存在对预测对象影响较大的因素，就要在定性分析的基础上，寻找原始数据信息的突变点的量化值，然后再对预测值进行必要的修正，使预测值更接近实际情况，提高预测值的可信度，为科学决策提供可靠的数据。另外，若作长期预测，要考虑对上限值的约束条件。

   应用灰色预测模型GM(1,1)进行预测较之其它常规的时间序列预测法有以下显著的特点。

   (1)灰色模型是一种长期预测模型，将预测系统中的随机元素作为灰色数据进行处理，而找出数据的内在规律。进行预测所需原始数据量小，预测精度较高，无须像其它预测法要么需要数据量大且规律性强，要么需要凭经验给出系数。

   (2)理论性强，计算方便，籍助计算机及其程序设计语言或相关软件间接计算，使得数据处理简便、快速、准确性好。

   (3)用有限的表征系统行为特征的外部元素，分析系统的内在规律。灰色系统理论采用对系统的行为特征数据进行生成的方法，对杂乱无章的系统的行为特征数据进行处理，从杂乱无章的现像中发现系统的内在规律，这是该方法的独特之处。

  适用性强。用灰色模型既可对周期性变化的系统行为进行预测，亦可对非周期性变化的系统行为进行预测；既可进行宏观长期的预测，亦可用于微观短期的预测。