2013年中考专题复习 二次函数

二次函数

一、小试牛刀

1、二次函数的概念：形如的函数，叫做二次函数。

2、二次函数的三种形式：（1）一般式：

(2) 顶点式：

（3）两点式：

3、二次函数的图象和性质：

关系式

一般式

y=ax2+bx+c(a≠0)

顶点式

y=a(x-h)2+k(a≠0)

图像形状抛物线

开口方向当a > 0,开口向；当a < 0,开口向顶点坐标

对称轴

增减性a > 0

在对称轴的左侧, y随着x的增大而；

在对称轴的右侧, y随着x的增大而

a < 0

在对称轴的左侧,y随着x的增大而；

在对称轴的右侧, y随着x的增大而

最值a > 0

a

b

ac

a

b

x

4

4

最小值

,

2

2

-

-

=时

当

当x = 时,最小值为

.

a < 0

a

b

ac

y

a

b

x

4

4

,

2

2

-

-

=最大值为

时

当

当x = 时,最大值为

.

4、二次函数图象的平移

向上（k>0）、向下（k<0）

二、 数学思想与方法解读

1.数形结合思想 （例题 详见课本83页，18题）

2.方程思想 （待定系数法）

3.转换思想 （最大利润、最小成本、方案最优化等问题）

4.分类思想 （如二次函数图象与x 轴总有交点,求a 的取值范围.） 三、 量身定做 （A 类）

y= a x 2

y= a x 2+k

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2 +k

平移 |k| 个单位

能准确求出二次函数的解析式、开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值大小比较、最值、能够画出二次函数的图像

二次函数与一元二次方程的关系;根据判别式判断有无实根。抛物线y=ax 2+bx+c 中系数a 、b 、c 的作用；二次函数图像的平移

(C类)

四、直击中考

1、考点分析：

二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题。

（2011年考查点：解二元一次方程组，直角三角形性质等；2012年考察点：二次函数最值，直线解析式，分类讨论等）

2、历年中考真题

【2012•杭州】

22．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．

（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k 应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

考

点：

二次函数综合题。

分析：（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=，利用待定系数法即可求得答案；

（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可

得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；

二次函数与几何图形结合的计算，动点、三角形、四边形结合在一起

学科内综合题跨学科渗透题（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣，k），A（1，k），即可得

=，继而求得答案．

点评：此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．

3、命题预测：

二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点。中考试卷解答题24题一直考查的是二次函数与几何图形结合的计算题，将熟悉的几何图形放在坐标中，结合有关性质以及图形之间的相互关系构建抛物线，结合二次函数的性质求解形式或者点的存在型问题。

（2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝2

3

x2＋bx＋c经过点B，且顶

点在直线x＝5

2

上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD 的周长最小，求出P点的坐标；

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据抛物线y ＝23

x 2＋bx ＋c 经过点B(0，4)，以及顶点

在直线x ＝52

上，得出b ，c 即可。

（2）根据菱形的性质得出C 、D 两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x ＝5或2时，y 的值即可。

（3）首先设直线CD 对应的函数关系式为y ＝kx ＋b ，求出解析式，当x ＝52

时，求出y 即可。

（4）利用MN ∥BD ，得出△OMN ∽△OBD ，进而得出

O M O N

O B O D

=

，得到t ON 2=，从而表示出△PMN 的面积，利用二次函数最

值求出即可。

（2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数1y kx b =+的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数2c y x

=的图象相交于B （－1，5）、

C （2

5，d ）两点．点P （m ，n ）是一次函数1y kx b =+的图象上的动点．

（1）求k 、b 的值；

（2）设31m 2

-<<，过点P 作x 轴的平行线与函数2c y x

=的图象相交

于点D ．试问△PAD 的面积是

否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设m 1a =-，如果在两个实数m 与n 之间（不包括m 和n ）有

且只有一个整数，求实数a 的取值

范围．

【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。

【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得c=5-，从而得到25y x =-

；由点C 在25y x =-上求得d 2=-，即得点C 的坐标；由点B 、C

在1y kx b =+上，得方程组，解出即可求得k 、b 的值。

（2）求出△PAD 的面积S 关于n 的二次函数（也可求出关于m ），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P 的坐标。

（3）由m≠n 得到a 0≠。分a 0>和a 0<两种情况求解。

(2012四川凉山12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y=－x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，并与x 轴交于另一点C （点C 点A 的右侧），点P 是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；

（2）若点P 在第二象限内，过点P 作PD ⊥轴于D ，交AB 于点E ．当点P 运动到什么位置时，线段PE 最长？此时PE 等于多少？

（3）如果平行于x 轴的动直线l 与抛物线交于点Q ，与直线AB 交于点N ，点M 为OA 的中点，那么是否存在这样的直线l ，使得△MON 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。

（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。

（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠

在两坐标轴上，点C为(－1，0) ．如图所示，B点在抛物线y＝1 2x

2

＋1

2x－2图象上，过点B作

BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．

（1）求证：△BDC≌△COA；

（2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所

有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。

（2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。

（3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。